Trigonometrie Beispiele

$\cot (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) - 2$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \cot (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \cot (x)$ , $(0, π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \cot (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) - 2$ zu bestimmen. Setze das Innere der Kotangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \cot (b x + c) + d$ gleich $0$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \cot (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) - 2$ auftritt.

$\frac{x}{2} - \frac{π}{2} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = π$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kotangensfunktion $\frac{x}{2} - \frac{π}{2}$ gleich $π$ .

$\frac{x}{2} - \frac{π}{2} = π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.1.2

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Schritt 1.4.1.5.2

Addiere $2 π$ und $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x = 3 π$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \cot (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) - 2$ tritt auf bei $(π, 3 π)$ , wobei $π$ und $3 π$ vertikale Asymptoten sind.

$(π, 3 π)$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 1.6.1

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.6.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 1.6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \cot (\frac{x}{2} - \frac{π}{2}) - 2$ treten auf bei $π$ , $3 π$ und aller $x = π + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = π + 2 π n$

Schritt 1.8

Der Kotangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = π + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = π + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \cot (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = - 2$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $c o t$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittle die Periode mithilfe der Formel $\frac{π}{| b |}$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Periode von $\cot (\frac{x}{2} - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 4.1.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.1.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 4.1.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 4.1.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 4.2

Ermittele die Periode von $- 2$ .

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Schritt 4.2.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 4.2.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$π \cdot 2$

Schritt 4.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$2 π$

Schritt 4.3

Die Periode der Summe/Differenz trigonometrischer Funktionen ist das Maximum der individuellen Perioden.

$2 π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{1}{2}}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2} \cdot 2$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2} \cdot 2$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $π$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $2 π$

Phasenverschiebung: $π$ ( $π$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $- 2$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = π + 2 π n$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $2 π$

Phasenverschiebung: $π$ ( $π$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: $- 2$

Schritt 8