Trigonometrie Beispiele

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Multipliziere über Kreuz.

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Schritt 1.2.1.1

Multipliziere über Kreuz, indem du das Produkt aus dem Zähler der rechten Seite und dem Nenner der linken Seite gleich dem Produkt aus dem Zähler der linken Seite und dem Nenner der rechten Seite setzt.

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $x - 1$ .

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

Schritt 1.2.2

Stelle so um, dass $81 \sqrt{x - 1}$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

Schritt 1.2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache ${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Potenziere $81$ mit $2$ .

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Vereinfache.

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Mutltipliziere $6561$ mit $- 1$ .

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$6561 x - 6561 < 0$

Schritt 1.2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Addiere $6561$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$6561 x < 6561$

Schritt 1.2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $6561 x < 6561$ durch $6561$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6561 x < 6561$ durch $6561$ .

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6561$ .

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Schritt 1.2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

Schritt 1.2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{6561}{6561}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Dividiere $6561$ durch $6561$ .

$x < 1$

Schritt 1.2.6

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ .

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Schritt 1.2.6.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 \geq 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 1$

Schritt 1.2.6.3

Setze den Nenner in $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 1.2.6.4

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.2.6.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(1, \infty)$

Schritt 1.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > 1$

Schritt 1.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 \geq 0$

Schritt 1.4

Addiere $1$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 1$

Schritt 1.5

Setze den Nenner in $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 1 = 0$

Schritt 1.6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 1.7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 1}$

Intervallschreibweise:

$(1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 1}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $1$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

Schritt 2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f (1) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(1, Undefined)$ .

$(1, Undefined)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 4)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

Schritt 4.1.2.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $81$ mit $1$ .

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

Schritt 4.1.2.3

Die logarithmische Basis $3$ von $\frac{81}{1}$ ist $4$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

Schritt 4.1.2.3.2

Schreibe $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{81}{1}$

Schritt 4.1.2.3.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{4}$

Schritt 4.1.2.3.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 4$

Schritt 4.1.2.3.5

Die Variable $x$ ist gleich $4$ .

$f (2) = 4$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$y = 4$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ .

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

Schritt 5