Trigonometrie Beispiele

$\log_{2} (2 x^{2} + 24 x + 72)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$2 x^{2} + 24 x + 72 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 24 x + 72$ heraus.

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Schritt 1.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$2 (x^{2}) + 24 x + 72 = 0$

Schritt 1.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $24 x$ heraus.

$2 (x^{2}) + 2 (12 x) + 72 = 0$

Schritt 1.2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $72$ heraus.

$2 x^{2} + 2 (12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Schritt 1.2.1.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2} + 2 (12 x)$ heraus.

$2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36 = 0$

Schritt 1.2.1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (x^{2} + 12 x) + 2 \cdot 36$ heraus.

$2 (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Schritt 1.2.1.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.2.1.2.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$2 (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Schritt 1.2.1.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Schritt 1.2.1.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 6$ .

$2 {(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x + 6)}^{2} = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(x + 6)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere ${(x + 6)}^{2}$ durch $1$ .

${(x + 6)}^{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 1.2.3

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 1.2.4

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = - 6$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = - 6$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = - 5$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 {(- 5)}^{2} + 24 (- 5) + 72)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2 \cdot 25 + 24 (- 5) + 72)$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 + 24 (- 5) + 72)$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 5$ .

$f (- 5) = \log_{2} (50 - 120 + 72)$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $120$ von $50$ .

$f (- 5) = \log_{2} (- 70 + 72)$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $- 70$ und $72$ .

$f (- 5) = \log_{2} (2)$

Schritt 2.2.3

Die logarithmische Basis $2$ von $2$ ist $1$ .

$f (- 5) = 1$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 2.3

Konvertiere $1$ nach Dezimal.

$y = 1$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = - 4$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 {(- 4)}^{2} + 24 (- 4) + 72)$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = \log_{2} (2 \cdot 16 + 24 (- 4) + 72)$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 + 24 (- 4) + 72)$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = \log_{2} (32 - 96 + 72)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $96$ von $32$ .

$f (- 4) = \log_{2} (- 64 + 72)$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $- 64$ und $72$ .

$f (- 4) = \log_{2} (8)$

Schritt 3.2.3

Die logarithmische Basis $2$ von $8$ ist $3$ .

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Schritt 3.2.3.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{2} (8) = x$

Schritt 3.2.3.2

Schreibe $\log_{2} (8) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 8$

Schritt 3.2.3.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{3}$

Schritt 3.2.3.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 3$

Schritt 3.2.3.5

Die Variable $x$ ist gleich $3$ .

$f (- 4) = 3$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 3.3

Konvertiere $3$ nach Dezimal.

$y = 3$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 72)$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (2 \cdot 4 + 24 (- 2) + 72)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 + 24 (- 2) + 72)$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $24$ mit $- 2$ .

$f (- 2) = \log_{2} (8 - 48 + 72)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $48$ von $8$ .

$f (- 2) = \log_{2} (- 40 + 72)$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 40$ und $72$ .

$f (- 2) = \log_{2} (32)$

Schritt 4.2.3

Die logarithmische Basis $2$ von $32$ ist $5$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{2} (32) = x$

Schritt 4.2.3.2

Schreibe $\log_{2} (32) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{x} = 32$

Schritt 4.2.3.3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{5}$

Schritt 4.2.3.4

Da die Basen gleich sind, sind die zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 5$

Schritt 4.2.3.5

Die Variable $x$ ist gleich $5$ .

$f (- 2) = 5$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $5$ .

$5$

Schritt 4.3

Konvertiere $5$ nach Dezimal.

$y = 5$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = - 6$ und den Punkten $(- 5, 1), (- 4, 3), (- 2, 5)$ .

Vertikale Asymptote: $x = - 6$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 1 \\ - 4 & 3 \\ - 2 & 5 \end{array}$

Schritt 6