Trigonometrie Beispiele

$2 x^{2} - y^{2} = 25$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

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Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $25$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{2 x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{x^{2}}{\frac{25}{2}} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 0$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(0, 0)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.1.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2}{4} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{50}{4} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $4$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (25)}{4} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{25}{2} + {(5)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{2} + 25}$

Schritt 5.3.4

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $25$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{25 + 25 \cdot 2}{2}}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25 + 50}{2}}$

Schritt 5.3.7.2

Addiere $25$ und $50$ .

$\sqrt{\frac{75}{2}}$

Schritt 5.3.8

Schreibe $\sqrt{\frac{75}{2}}$ als $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.9.1

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 5.3.9.1.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$\frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.9.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.9.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.10

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.11.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.11.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.3.11.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.3.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.3.11.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.3.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.3.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5 \sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.3.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{5 \sqrt{2 \cdot 3}}{2}$

Schritt 5.3.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{5 \sqrt{6}}{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0), (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(\frac{5 \sqrt{6}}{2}, 0)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- \frac{5 \sqrt{6}}{2}, 0)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(\frac{5 \sqrt{6}}{2}, 0), (- \frac{5 \sqrt{6}}{2}, 0)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(5)}^{2}}}{\frac{5 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{{(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 8.3.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ an.

$\sqrt{\frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Produktregel auf $5 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.4.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 2}{4} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.4.2

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{50}{4} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $50$ und $4$ .

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Schritt 8.3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $50$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (25)}{4} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{25}{2} + 5^{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.4.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25}{2} + 25} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.5

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.6

Kombiniere $25$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{25 + 25 \cdot 2}{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.8.1

Mutltipliziere $25$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{25 + 50}{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.8.2

Addiere $25$ und $50$ .

$\sqrt{\frac{75}{2}} \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{75}{2}}$ als $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.10.1

Schreibe $75$ als $5^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.3.10.1.1

Faktorisiere $25$ aus $75$ heraus.

$\frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.10.1.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 8.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.3.11.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{5 (\sqrt{3})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.11.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{5 (\sqrt{3})}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{5 (\sqrt{2})}$

Schritt 8.3.11.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{5 \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.11.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Schritt 8.3.11.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.12

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 8.3.13

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 8.3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.15.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \cdot 2}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.3.15.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 8.3.16

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.3.16.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.16.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.16.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.16.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.16.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2^{1}}$

Schritt 8.3.16.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.3.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.3.17.2

Dividiere $\sqrt{3}$ durch $1$ .

$\sqrt{3}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

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Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{\frac{5^{2}}{5 \sqrt{6}}}{2}$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5^{2}$ und $5$ .

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Schritt 9.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5^{2}$ heraus.

$\frac{\frac{5 \cdot 5}{5 \sqrt{6}}}{2}$

Schritt 9.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{\frac{5 \cdot 5}{5 (\sqrt{6})}}{2}$

Schritt 9.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{5 \cdot 5}{5 \sqrt{6}}}{2}$

Schritt 9.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{5}{\sqrt{6}}}{2}$

Schritt 9.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{5}{\sqrt{6}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{5 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.2

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\frac{5 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 9.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{5 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sqrt{6}}{6^{1}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5 \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.5

Multipliziere $\frac{5 \sqrt{6}}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 9.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{5 \sqrt{6}}{6}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{6}}{6 \cdot 2}$

Schritt 9.3.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \sqrt{2} \cdot x + 0$

Schritt 11

Addiere $\sqrt{2} \cdot x$ und $0$ .

$y = \sqrt{2} x$

Schritt 12

Addiere $- \sqrt{2} \cdot x$ und $0$ .

$y = - \sqrt{2} x$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \sqrt{2} x, y = - \sqrt{2} x$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(0, 0)$

Scheitelpunkte: $(\frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0), (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}, 0)$

Brennpunkte: $(\frac{5 \sqrt{6}}{2}, 0), (- \frac{5 \sqrt{6}}{2}, 0)$

Exzentrizität: $\sqrt{3}$

Fokaler Parameter: $\frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Asymptoten: $y = \sqrt{2} x$ , $y = - \sqrt{2} x$

Schritt 15