Trigonometrie Beispiele

$\frac{2 x}{\sqrt{x - 5}}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \frac{2 x}{\sqrt{x - 5}}$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 5}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 5$

Schritt 1.3

Setze den Nenner in $\frac{2 x \sqrt{x - 5}}{x - 5}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 5 = 0$

Schritt 1.4

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 5}$

Intervallschreibweise:

$(5, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 5}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $5$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \frac{2 x \sqrt{x - 5}}{x - 5}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = \frac{2 (5) \sqrt{(5) - 5}}{(5) - 5}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (5) = \frac{2 (5) \sqrt{(5) - 5}}{0}$

Schritt 2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

$f (5) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(5, Undefined)$ .

$(5, Undefined)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = \frac{2 x \sqrt{x - 5}}{x - 5}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, 12)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = \frac{2 (6) \sqrt{(6) - 5}}{(6) - 5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f (6) = \frac{12 \sqrt{6 - 5}}{6 - 5}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$f (6) = \frac{12 \sqrt{6 - 5}}{1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $6$ .

$f (6) = \frac{12 \sqrt{1}}{1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (6) = \frac{12 \cdot 1}{1}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$f (6) = \frac{12}{1}$

Schritt 4.1.2.3.2

Dividiere $12$ durch $1$ .

$f (6) = 12$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $12$ .

$y = 12$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $7$ in $f (x) = \frac{2 x \sqrt{x - 5}}{x - 5}$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(7, 7 \sqrt{2})$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f (7) = \frac{2 (7) \sqrt{(7) - 5}}{(7) - 5}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (7) = \frac{14 \sqrt{7 - 5}}{7 - 5}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$f (7) = \frac{14 \sqrt{7 - 5}}{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Subtrahiere $5$ von $7$ .

$f (7) = \frac{14 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14 \sqrt{2}$ heraus.

$f (7) = \frac{2 (7 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 4.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (7) = \frac{2 (7 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (7) = \frac{2 (7 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (7) = \frac{7 \sqrt{2}}{1}$

Schritt 4.2.2.2.2.4

Dividiere $7 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$f (7) = 7 \sqrt{2}$

Schritt 4.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $7 \sqrt{2}$ .

$y = 7 \sqrt{2}$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(5, Undefined), (6, 12), (7, 9.9)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & Undefined \\ 6 & 12 \\ 7 & 9.9 \end{array}$

Schritt 5