Trigonometrie Beispiele

$\frac{1}{2} \cdot \cos (x - \frac{x}{π})$

Schritt 1

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 1 - \frac{1}{π}$

$c = 0$

$d = 0$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $\frac{1}{2}$

Schritt 3

Ermittele die Periode von $\frac{\cos (x - \frac{x}{π})}{2}$ .

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Schritt 3.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2

Ersetze $b$ durch $1 - \frac{1}{π}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 - \frac{1}{π} |}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

$1 - \frac{1}{π}$ ist ungefähr $0.68169011$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{1 - \frac{1}{π}}$

Schritt 3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π}{\frac{π}{π} - \frac{1}{π}}$

Schritt 3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 π}{\frac{π - 1}{π}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \frac{π}{π - 1}$

Schritt 3.5

Multipliziere $2 π \frac{π}{π - 1}$ .

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $\frac{π}{π - 1}$ und $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{π - 1} π$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $\frac{π \cdot 2}{π - 1}$ und $π$ .

$\frac{π \cdot 2 π}{π - 1}$

Schritt 3.5.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{2 (π^{1} π)}{π - 1}$

Schritt 3.5.4

Potenziere $π$ mit $1$ .

$\frac{2 (π^{1} π^{1})}{π - 1}$

Schritt 3.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 π^{1 + 1}}{π - 1}$

Schritt 3.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{1 - \frac{1}{π}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\frac{π}{π} - \frac{1}{π}}$

Schritt 4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\frac{π - 1}{π}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $0 (\frac{π}{π - 1})$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{π}{π - 1}$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $\frac{1}{2}$

Periode: $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{\cos ((0) - \frac{0}{π})}{2}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Dividiere $0$ durch $π$ .

$f (0) = \frac{\cos (0 - 0)}{2}$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0 + 0)}{2}$

Schritt 6.1.2.1.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = \frac{\cos (0)}{2}$

Schritt 6.1.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (0) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos ((\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) - \frac{\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}}{π})}{2}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Kombinieren.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π^{2} \cdot 1}{2 (π - 1) π})}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $π^{2}$ und $π$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.3.1

Faktorisiere $π$ aus $π^{2} \cdot 1$ heraus.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{2 (π - 1) π})}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.1.3.2.1

Faktorisiere $π$ aus $2 (π - 1) π$ heraus.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π \cdot 1}{2 (π - 1)})}{2}$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Mutltipliziere $π$ mit $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π}{2 (π - 1)})}{2}$

Schritt 6.2.2.1.2

Berechne $\cos (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π}{2 (π - 1)})$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{0}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (\frac{π^{2}}{2 (π - 1)}) = 0$

Schritt 6.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{π^{2}}{π - 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π^{2}}{π - 1}$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos ((\frac{π^{2}}{π - 1}) - \frac{\frac{π^{2}}{π - 1}}{π})}{2}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π^{2}}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π^{2}$ heraus.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π π}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - (\frac{π π}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Schritt 6.3.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2}}{π - 1} - \frac{π}{π - 1})}{2}$

Schritt 6.3.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{π^{2} - π}{π - 1})}{2}$

Schritt 6.3.2.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- \cos (0)}{2}$

Schritt 6.3.2.1.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Schritt 6.3.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = \frac{- 1}{2}$

Schritt 6.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{π^{2}}{π - 1}) = - \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos ((\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) - \frac{\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}}{π})}{2}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Kombinieren.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π^{2} \cdot 1}{2 (π - 1) π})}{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $π^{2}$ und $π$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.3.1

Faktorisiere $π$ aus $3 π^{2} \cdot 1$ heraus.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{2 (π - 1) π})}{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1.1.3.2.1

Faktorisiere $π$ aus $2 (π - 1) π$ heraus.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{π (3 π \cdot 1)}{π (2 (π - 1))})}{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π \cdot 1}{2 (π - 1)})}{2}$

Schritt 6.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π}{2 (π - 1)})}{2}$

Schritt 6.4.2.1.2

Berechne $\cos (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} - \frac{3 π}{2 (π - 1)})$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = \frac{0}{2}$

Schritt 6.4.2.2

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)}) = 0$

Schritt 6.4.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{2 π^{2}}{π - 1}$ .

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Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$ .

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos ((\frac{2 π^{2}}{π - 1}) - \frac{\frac{2 π^{2}}{π - 1}}{π})}{2}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.5.2.1.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{2 π^{2}}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Schritt 6.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π$ .

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Schritt 6.5.2.1.1.2.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π^{2}$ heraus.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{π (2 π)}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Schritt 6.5.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - (\frac{π (2 π)}{π - 1} \cdot \frac{1}{π}))}{2}$

Schritt 6.5.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2}}{π - 1} - \frac{2 π}{π - 1})}{2}$

Schritt 6.5.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{\cos (\frac{2 π^{2} - 2 π}{π - 1})}{2}$

Schritt 6.5.2.1.3

Berechne $\cos (\frac{2 π^{2} - 2 π}{π - 1})$ .

$f (\frac{2 π^{2}}{π - 1}) = \frac{1}{2}$

Schritt 6.5.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{π^{2}}{2 (π - 1)} & - 0 \\ \frac{π^{2}}{π - 1} & - \frac{1}{2} \\ \frac{3 π^{2}}{2 (π - 1)} & - 0 \\ \frac{2 π^{2}}{π - 1} & \frac{1}{2} \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $\frac{1}{2}$

Periode: $\frac{2 π^{2}}{π - 1}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8