Trigonometrie Beispiele

${(x - 3)}^{2} - {(y - 4)}^{2} = 4$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Teile jeden Term durch $4$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} - \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 2$

$b = 2$

$k = 4$

$h = 3$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(3, 4)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 + 4}$

Schritt 5.3.3

Addiere $4$ und $4$ .

$\sqrt{8}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{4 (2)}$

Schritt 5.3.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \sqrt{2}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, 4)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(1, 4)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(5, 4), (1, 4)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3 + 2 \sqrt{2}, 4)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(3 - 2 \sqrt{2}, 4)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(3 + 2 \sqrt{2}, 4), (3 - 2 \sqrt{2}, 4)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2)}^{2}}}{2}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2}}}{2}$

Schritt 8.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4}}{2}$

Schritt 8.3.1.3

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{\sqrt{8}}{2}$

Schritt 8.3.1.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{2}$

Schritt 8.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 8.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8.3.2.2

Dividiere $\sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2}$

Schritt 9

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) + 4$

Schritt 10

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Entferne die Klammern.

$y = 1 \cdot (x - (3)) + 4$

Schritt 10.2

Vereinfache $1 \cdot (x - (3)) + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1.1

Mutltipliziere $x - (3)$ mit $1$ .

$y = x - (3) + 4$

Schritt 10.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = x - 3 + 4$

Schritt 10.2.2

Addiere $- 3$ und $4$ .

$y = x + 1$

Schritt 11

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = - 1 \cdot (x - (3)) + 4$

Schritt 11.2

Vereinfache $- 1 \cdot (x - (3)) + 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3) + 4$

Schritt 11.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3 + 4$

Schritt 11.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x - 1 \cdot - 3 + 4$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$y = - x + 3 + 4$

Schritt 11.2.2

Addiere $3$ und $4$ .

$y = - x + 7$

Schritt 12

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = x + 1, y = - x + 7$

Schritt 13

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(3, 4)$

Scheitelpunkte: $(5, 4), (1, 4)$

Brennpunkte: $(3 + 2 \sqrt{2}, 4), (3 - 2 \sqrt{2}, 4)$

Exzentrizität: $\sqrt{2}$

Fokaler Parameter: $\sqrt{2}$

Asymptoten: $y = x + 1$ , $y = - x + 7$

Schritt 14