Trigonometrie Beispiele

${(x - 1)}^{2} = \frac{9}{4} \cdot (y + 4)$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{9}{4} \cdot (y + 4) = {(x - 1)}^{2}$ um.

$\frac{9}{4} \cdot (y + 4) = {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{4}{9}$ .

$\frac{4}{9} (\frac{9}{4} \cdot (y + 4)) = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Vereinfache $\frac{4}{9} (\frac{9}{4} \cdot (y + 4))$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{9} (\frac{9}{4} y + \frac{9}{4} \cdot 4) = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.2

Kombiniere $\frac{9}{4}$ und $y$ .

$\frac{4}{9} (\frac{9 y}{4} + \frac{9}{4} \cdot 4) = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{9} (\frac{9 y}{4} + \frac{9}{4} \cdot 4) = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{9} (\frac{9 y}{4} + 9) = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{9 y}{4} + \frac{4}{9} \cdot 9 = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{9} \cdot \frac{9 y}{4} + \frac{4}{9} \cdot 9 = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9} (9 y) + \frac{4}{9} \cdot 9 = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.3.1.1.6.1

Faktorisiere $9$ aus $9 y$ heraus.

$\frac{1}{9} (9 (y)) + \frac{4}{9} \cdot 9 = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9} (9 y) + \frac{4}{9} \cdot 9 = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y + \frac{4}{9} \cdot 9 = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.3.1.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{4}{9} \cdot 9 = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.1.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 4 = \frac{4}{9} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $\frac{4}{9}$ und ${(x - 1)}^{2}$ .

$y + 4 = \frac{4 {(x - 1)}^{2}}{9}$

Schritt 1.4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{4 {(x - 1)}^{2}}{9} - 4$

Schritt 1.5

Vereinfache $\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{9} - 4$ .

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Schritt 1.5.1

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{4 {(x - 1)}^{2}}{9} - 4 \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{4 {(x - 1)}^{2}}{9} + \frac{- 4 \cdot 9}{9}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 {(x - 1)}^{2} - 4 \cdot 9}{9}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(x - 1)}^{2} - 4 \cdot 9$ heraus.

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Schritt 1.5.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 ({(x - 1)}^{2}) - 4 \cdot 9}{9}$

Schritt 1.5.3.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \cdot 9$ heraus.

$y = \frac{4 ({(x - 1)}^{2}) + 4 (- 1 \cdot 9)}{9}$

Schritt 1.5.3.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 ({(x - 1)}^{2}) + 4 (- 1 \cdot 9)$ heraus.

$y = \frac{4 ({(x - 1)}^{2} - 1 \cdot 9)}{9}$

Schritt 1.5.3.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \frac{4 ({(x - 1)}^{2} - 3^{2})}{9}$

Schritt 1.5.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x - 1$ und $b = 3$ .

$y = \frac{4 ((x - 1 + 3) (x - 1 - 3))}{9}$

Schritt 1.5.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $3$ .

$y = \frac{4 ((x + 2) (x - 1 - 3))}{9}$

Schritt 1.5.3.4.2

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$y = \frac{4 ((x + 2) (x - 4))}{9}$

$y = \frac{4 (x + 2) (x - 4)}{9}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{4 (x + 2) (x - 4)}{9}$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 0$

$c = 0$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{0}{1}$

Schritt 2.1.1.3.2.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$d = 0$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{0}{4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $0$ durch $4$ .

$e = 0 - 0$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e = 0 + 0$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$e = 0$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $x^{2}$ ein.

$x^{2}$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = x^{2}$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 0$

$k = 0$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(0, \frac{1}{4})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 0$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(0, \frac{1}{4})$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{4}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(0, \frac{1}{4})$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{4 ((- 2) + 2) ((- 2) - 4)}{9}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 \cdot (0 (- 2 - 4))}{9}$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$f (- 2) = \frac{0 (- 2 - 4)}{9}$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 2 - 4$ .

$f (- 2) = \frac{0}{9}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $0$ durch $9$ .

$f (- 2) = 0$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 2$ ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{4 ((- 1) + 2) ((- 1) - 4)}{9}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$f (- 1) = \frac{4 \cdot (1 (- 1 - 4))}{9}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (- 1) = \frac{4 (- 1 - 4)}{9}$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{4 \cdot - 5}{9}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 5$ .

$f (- 1) = \frac{- 20}{9}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 1) = - \frac{20}{9}$

Schritt 3.5.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{20}{9}$ .

$- \frac{20}{9}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 1$ ist $- \frac{20}{9}$ .

$y = - \frac{20}{9}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{4 ((1) + 2) ((1) - 4)}{9}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Addiere $1$ und $2$ .

$f (1) = \frac{4 \cdot (3 (1 - 4))}{9}$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (1) = \frac{12 (1 - 4)}{9}$

Schritt 3.8.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f (1) = \frac{12 \cdot - 3}{9}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.2.1

Mutltipliziere $12$ mit $- 3$ .

$f (1) = \frac{- 36}{9}$

Schritt 3.8.2.2

Dividiere $- 36$ durch $9$ .

$f (1) = - 4$

Schritt 3.8.3

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = 1$ ist $- 4$ .

$y = - 4$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{4 ((3) + 2) ((3) - 4)}{9}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1.1

Addiere $3$ und $2$ .

$f (3) = \frac{4 \cdot (5 (3 - 4))}{9}$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (3) = \frac{20 (3 - 4)}{9}$

Schritt 3.11.1.3

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f (3) = \frac{20 \cdot - 1}{9}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.2.1

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$f (3) = \frac{- 20}{9}$

Schritt 3.11.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (3) = - \frac{20}{9}$

Schritt 3.11.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{20}{9}$ .

$- \frac{20}{9}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- \frac{20}{9}$ .

$y = - \frac{20}{9}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - \frac{20}{9} \\ 0 & 0 \\ 1 & - 4 \\ 3 & - \frac{20}{9} \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(0, 0)$

Brennpunkt: $(0, \frac{1}{4})$

Symmetrieachse: $x = 0$

Leitlinie: $y = - \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 0 \\ - 1 & - \frac{20}{9} \\ 0 & 0 \\ 1 & - 4 \\ 3 & - \frac{20}{9} \end{array}$

Schritt 5