Trigonometrie Beispiele

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{25} - \frac{y - 4}{36} = 1$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{{(x + 5)}^{2}}{25} - \frac{y - 4}{36}$ .

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Schritt 1.1.1

Um $\frac{{(x + 5)}^{2}}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{36}{36}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{25} \cdot \frac{36}{36} - \frac{y - 4}{36} = 1$

Schritt 1.1.2

Um $- \frac{y - 4}{36}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{25} \cdot \frac{36}{36} - \frac{y - 4}{36} \cdot \frac{25}{25} = 1$

Schritt 1.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $900$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(x + 5)}^{2}}{25}$ mit $\frac{36}{36}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \cdot 36}{25 \cdot 36} - \frac{y - 4}{36} \cdot \frac{25}{25} = 1$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $36$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \cdot 36}{900} - \frac{y - 4}{36} \cdot \frac{25}{25} = 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{y - 4}{36}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \cdot 36}{900} - \frac{(y - 4) \cdot 25}{36 \cdot 25} = 1$

Schritt 1.1.3.4

Mutltipliziere $36$ mit $25$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2} \cdot 36}{900} - \frac{(y - 4) \cdot 25}{900} = 1$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x + 5)}^{2} \cdot 36 - (y - 4) \cdot 25}{900} = 1$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Bringe $36$ auf die linke Seite von ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{36 \cdot {(x + 5)}^{2} - (y - 4) \cdot 25}{900} = 1$

Schritt 1.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 {(x + 5)}^{2} + (- y - - 4) \cdot 25}{900} = 1$

Schritt 1.1.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{36 {(x + 5)}^{2} + (- y + 4) \cdot 25}{900} = 1$

Schritt 1.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{36 {(x + 5)}^{2} - y \cdot 25 + 4 \cdot 25}{900} = 1$

Schritt 1.1.5.5

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$\frac{36 {(x + 5)}^{2} - 25 y + 4 \cdot 25}{900} = 1$

Schritt 1.1.5.6

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$\frac{36 {(x + 5)}^{2} - 25 y + 100}{900} = 1$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $900$ .

$\frac{36 {(x + 5)}^{2} - 25 y + 100}{900} \cdot 900 = 1 \cdot 900$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $900$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 {(x + 5)}^{2} - 25 y + 100}{900} \cdot 900 = 1 \cdot 900$

Schritt 1.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$36 {(x + 5)}^{2} - 25 y + 100 = 1 \cdot 900$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Mutltipliziere $900$ mit $1$ .

$36 {(x + 5)}^{2} - 25 y + 100 = 900$

Schritt 1.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $36 {(x + 5)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 25 y + 100 = 900 - 36 {(x + 5)}^{2}$

Schritt 1.4.1.2

Subtrahiere $100$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 25 y = 900 - 36 {(x + 5)}^{2} - 100$

Schritt 1.4.1.3

Subtrahiere $100$ von $900$ .

$- 25 y = - 36 {(x + 5)}^{2} + 800$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 25 y = - 36 {(x + 5)}^{2} + 800$ durch $- 25$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 25 y = - 36 {(x + 5)}^{2} + 800$ durch $- 25$ .

$\frac{- 25 y}{- 25} = \frac{- 36 {(x + 5)}^{2}}{- 25} + \frac{800}{- 25}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 25$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 25 y}{- 25} = \frac{- 36 {(x + 5)}^{2}}{- 25} + \frac{800}{- 25}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 36 {(x + 5)}^{2}}{- 25} + \frac{800}{- 25}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{36 {(x + 5)}^{2}}{25} + \frac{800}{- 25}$

Schritt 1.4.2.3.1.2

Dividiere $800$ durch $- 25$ .

$y = \frac{36 {(x + 5)}^{2}}{25} - 32$

Schritt 1.4.2.3.2

Um $- 32$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$y = \frac{36 {(x + 5)}^{2}}{25} - 32 \cdot \frac{25}{25}$

Schritt 1.4.2.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.2.3.3.1

Kombiniere $- 32$ und $\frac{25}{25}$ .

$y = \frac{36 {(x + 5)}^{2}}{25} + \frac{- 32 \cdot 25}{25}$

Schritt 1.4.2.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{36 {(x + 5)}^{2} - 32 \cdot 25}{25}$

Schritt 1.4.2.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $36 {(x + 5)}^{2} - 32 \cdot 25$ heraus.

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Schritt 1.4.2.3.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $36 {(x + 5)}^{2}$ heraus.

$y = \frac{4 (9 {(x + 5)}^{2}) - 32 \cdot 25}{25}$

Schritt 1.4.2.3.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 32 \cdot 25$ heraus.

$y = \frac{4 (9 {(x + 5)}^{2}) + 4 (- 8 \cdot 25)}{25}$

Schritt 1.4.2.3.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (9 {(x + 5)}^{2}) + 4 (- 8 \cdot 25)$ heraus.

$y = \frac{4 (9 {(x + 5)}^{2} - 8 \cdot 25)}{25}$

Schritt 1.4.2.3.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $25$ .

$y = \frac{4 (9 {(x + 5)}^{2} - 200)}{25}$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Stelle die Terme um.

$y = \frac{4}{25} \cdot (9 {(x + 5)}^{2} - 200)$

Schritt 2.1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{4}{25} \cdot (9 {(x + 5)}^{2} - 200)$ an.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Schreibe ${(x + 5)}^{2}$ als $(x + 5) (x + 5)$ um.

$\frac{4}{25} \cdot (9 ((x + 5) (x + 5)) - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Multipliziere $(x + 5) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{25} \cdot (9 (x (x + 5) + 5 (x + 5)) - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{25} \cdot (9 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{25} \cdot (9 (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4}{25} \cdot (9 (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{4}{25} \cdot (9 (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{4}{25} \cdot (9 (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.3.2

Addiere $5 x$ und $5 x$ .

$\frac{4}{25} \cdot (9 (x^{2} + 10 x + 25) - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{25} \cdot (9 x^{2} + 9 (10 x) + 9 \cdot 25 - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $9$ .

$\frac{4}{25} \cdot (9 x^{2} + 90 x + 9 \cdot 25 - 200)$

Schritt 2.1.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $25$ .

$\frac{4}{25} \cdot (9 x^{2} + 90 x + 225 - 200)$

Schritt 2.1.2.1.2

Subtrahiere $200$ von $225$ .

$\frac{4}{25} \cdot (9 x^{2} + 90 x + 25)$

Schritt 2.1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4}{25} (9 x^{2}) + \frac{4}{25} (90 x) + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1.4.1

Multipliziere $\frac{4}{25} (9 x^{2})$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.1.1

Kombiniere $9$ und $\frac{4}{25}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{25} x^{2} + \frac{4}{25} (90 x) + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{36}{25} x^{2} + \frac{4}{25} (90 x) + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.1.3

Kombiniere $\frac{36}{25}$ und $x^{2}$ .

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{4}{25} (90 x) + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{4}{5 (5)} (90 x) + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.2.2

Faktorisiere $5$ aus $90 x$ heraus.

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{4}{5 (5)} (5 (18 x)) + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{4}{5 \cdot 5} (5 (18 x)) + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{4}{5} (18 x) + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.3

Kombiniere $18$ und $\frac{4}{5}$ .

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{18 \cdot 4}{5} x + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.4

Mutltipliziere $18$ mit $4$ .

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{72}{5} x + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.5

Kombiniere $\frac{72}{5}$ und $x$ .

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{72 x}{5} + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 2.1.2.1.4.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{72 x}{5} + \frac{4}{25} \cdot 25$

Schritt 2.1.2.1.4.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{36 x^{2}}{25} + \frac{72 x}{5} + 4$

Schritt 2.1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{36}{25}$

$b = \frac{72}{5}$

$c = 4$

Schritt 2.1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{72}{5}}{2 (\frac{36}{25})}$

Schritt 2.1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{72}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{36}{25})}$

Schritt 2.1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $72$ heraus.

$d = \frac{2 (36)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{36}{25})}$

Schritt 2.1.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 36}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{36}{25})}$

Schritt 2.1.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{36}{5} \cdot \frac{1}{\frac{36}{25}}$

Schritt 2.1.2.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{36}{5}$ mit $\frac{1}{\frac{36}{25}}$ .

$d = \frac{36}{5 (\frac{36}{25})}$

Schritt 2.1.2.4.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{36}{25}$ .

$d = \frac{36}{\frac{5 \cdot 36}{25}}$

Schritt 2.1.2.4.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $36$ .

$d = \frac{36}{\frac{180}{25}}$

Schritt 2.1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $180$ und $25$ .

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Schritt 2.1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $180$ heraus.

$d = \frac{36}{\frac{5 (36)}{25}}$

Schritt 2.1.2.4.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.4.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$d = \frac{36}{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5}}$

Schritt 2.1.2.4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{36}{\frac{5 \cdot 36}{5 \cdot 5}}$

Schritt 2.1.2.4.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{36}{\frac{36}{5}}$

Schritt 2.1.2.4.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 36 (\frac{5}{36})$

Schritt 2.1.2.4.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 2.1.2.4.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = 36 (\frac{5}{36})$

Schritt 2.1.2.4.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 5$

Schritt 2.1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 4 - \frac{{(\frac{72}{5})}^{2}}{4 (\frac{36}{25})}$

Schritt 2.1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{72}{5}$ an.

$e = 4 - \frac{\frac{72^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{36}{25})}$

Schritt 2.1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $72$ mit $2$ .

$e = 4 - \frac{\frac{5184}{5^{2}}}{4 (\frac{36}{25})}$

Schritt 2.1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = 4 - \frac{\frac{5184}{25}}{4 (\frac{36}{25})}$

Schritt 2.1.2.5.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{36}{25}$ .

$e = 4 - \frac{\frac{5184}{25}}{\frac{4 \cdot 36}{25}}$

Schritt 2.1.2.5.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$e = 4 - \frac{\frac{5184}{25}}{\frac{144}{25}}$

Schritt 2.1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 4 - (\frac{5184}{25} \cdot \frac{25}{144})$

Schritt 2.1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $144$ .

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Schritt 2.1.2.5.2.1.5.1

Faktorisiere $144$ aus $5184$ heraus.

$e = 4 - (\frac{144 (36)}{25} \cdot \frac{25}{144})$

Schritt 2.1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 4 - (\frac{144 \cdot 36}{25} \cdot \frac{25}{144})$

Schritt 2.1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 4 - (\frac{36}{25} \cdot 25)$

Schritt 2.1.2.5.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 2.1.2.5.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 4 - (\frac{36}{25} \cdot 25)$

Schritt 2.1.2.5.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 4 - 1 \cdot 36$

Schritt 2.1.2.5.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 4 - 36$

Schritt 2.1.2.5.2.2

Subtrahiere $36$ von $4$ .

$e = - 32$

Schritt 2.1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{36}{25} {(x + 5)}^{2} - 32$ ein.

$\frac{36}{25} {(x + 5)}^{2} - 32$

Schritt 2.1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{36}{25} \cdot {(x + 5)}^{2} - 32$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{36}{25}$

$h = - 5$

$k = - 32$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 5, - 32)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{36}{25}}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{36}{25}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 36}{25}}$

Schritt 2.5.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $36$ .

$\frac{1}{\frac{144}{25}}$

Schritt 2.5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 (\frac{25}{144})$

Schritt 2.5.3.4

Mutltipliziere $\frac{25}{144}$ mit $1$ .

$\frac{25}{144}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 5, - \frac{4583}{144})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = - 5$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{4633}{144}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 5, - 32)$

Brennpunkt: $(- 5, - \frac{4583}{144})$

Symmetrieachse: $x = - 5$

Leitlinie: $y = - \frac{4633}{144}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 5, - 32)$

Brennpunkt: $(- 5, - \frac{4583}{144})$

Symmetrieachse: $x = - 5$

Leitlinie: $y = - \frac{4633}{144}$

Schritt 3

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{4 (9 {(- 6)}^{2} + 90 (- 6) + 25)}{25}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$f (- 6) = \frac{4 (9 \cdot 36 + 90 (- 6) + 25)}{25}$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $36$ .

$f (- 6) = \frac{4 (324 + 90 (- 6) + 25)}{25}$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $90$ mit $- 6$ .

$f (- 6) = \frac{4 (324 - 540 + 25)}{25}$

Schritt 3.2.1.4

Subtrahiere $540$ von $324$ .

$f (- 6) = \frac{4 (- 216 + 25)}{25}$

Schritt 3.2.1.5

Addiere $- 216$ und $25$ .

$f (- 6) = \frac{4 \cdot - 191}{25}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 191$ .

$f (- 6) = \frac{- 764}{25}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 6) = - \frac{764}{25}$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{764}{25}$ .

$- \frac{764}{25}$

Schritt 3.3

Der $y$ -Wert bei $x = - 6$ ist $- \frac{764}{25}$ .

$y = - \frac{764}{25}$

Schritt 3.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{4 (9 {(- 7)}^{2} + 90 (- 7) + 25)}{25}$

Schritt 3.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f (- 7) = \frac{4 (9 \cdot 49 + 90 (- 7) + 25)}{25}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $49$ .

$f (- 7) = \frac{4 (441 + 90 (- 7) + 25)}{25}$

Schritt 3.5.1.3

Mutltipliziere $90$ mit $- 7$ .

$f (- 7) = \frac{4 (441 - 630 + 25)}{25}$

Schritt 3.5.1.4

Subtrahiere $630$ von $441$ .

$f (- 7) = \frac{4 (- 189 + 25)}{25}$

Schritt 3.5.1.5

Addiere $- 189$ und $25$ .

$f (- 7) = \frac{4 \cdot - 164}{25}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 164$ .

$f (- 7) = \frac{- 656}{25}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 7) = - \frac{656}{25}$

Schritt 3.5.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{656}{25}$ .

$- \frac{656}{25}$

Schritt 3.6

Der $y$ -Wert bei $x = - 7$ ist $- \frac{656}{25}$ .

$y = - \frac{656}{25}$

Schritt 3.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{4 (9 {(- 4)}^{2} + 90 (- 4) + 25)}{25}$

Schritt 3.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.8.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f (- 4) = \frac{4 (9 \cdot 16 + 90 (- 4) + 25)}{25}$

Schritt 3.8.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $16$ .

$f (- 4) = \frac{4 (144 + 90 (- 4) + 25)}{25}$

Schritt 3.8.1.3

Mutltipliziere $90$ mit $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{4 (144 - 360 + 25)}{25}$

Schritt 3.8.1.4

Subtrahiere $360$ von $144$ .

$f (- 4) = \frac{4 (- 216 + 25)}{25}$

Schritt 3.8.1.5

Addiere $- 216$ und $25$ .

$f (- 4) = \frac{4 \cdot - 191}{25}$

Schritt 3.8.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 191$ .

$f (- 4) = \frac{- 764}{25}$

Schritt 3.8.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 4) = - \frac{764}{25}$

Schritt 3.8.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{764}{25}$ .

$- \frac{764}{25}$

Schritt 3.9

Der $y$ -Wert bei $x = - 4$ ist $- \frac{764}{25}$ .

$y = - \frac{764}{25}$

Schritt 3.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{4 (9 {(- 3)}^{2} + 90 (- 3) + 25)}{25}$

Schritt 3.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f (- 3) = \frac{4 (9 \cdot 9 + 90 (- 3) + 25)}{25}$

Schritt 3.11.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$f (- 3) = \frac{4 (81 + 90 (- 3) + 25)}{25}$

Schritt 3.11.1.3

Mutltipliziere $90$ mit $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{4 (81 - 270 + 25)}{25}$

Schritt 3.11.1.4

Subtrahiere $270$ von $81$ .

$f (- 3) = \frac{4 (- 189 + 25)}{25}$

Schritt 3.11.1.5

Addiere $- 189$ und $25$ .

$f (- 3) = \frac{4 \cdot - 164}{25}$

Schritt 3.11.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.11.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 164$ .

$f (- 3) = \frac{- 656}{25}$

Schritt 3.11.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 3) = - \frac{656}{25}$

Schritt 3.11.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{656}{25}$ .

$- \frac{656}{25}$

Schritt 3.12

Der $y$ -Wert bei $x = - 3$ ist $- \frac{656}{25}$ .

$y = - \frac{656}{25}$

Schritt 3.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & - \frac{656}{25} \\ - 6 & - \frac{764}{25} \\ - 5 & - 32 \\ - 4 & - \frac{764}{25} \\ - 3 & - \frac{656}{25} \end{array}$

Schritt 4

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(- 5, - 32)$

Brennpunkt: $(- 5, - \frac{4583}{144})$

Symmetrieachse: $x = - 5$

Leitlinie: $y = - \frac{4633}{144}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 7 & - \frac{656}{25} \\ - 6 & - \frac{764}{25} \\ - 5 & - 32 \\ - 4 & - \frac{764}{25} \\ - 3 & - \frac{656}{25} \end{array}$

Schritt 5