Trigonometrie Beispiele

${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$

Schritt 1

Vereinfache ${(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = {\sqrt{x}}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{x}}^{4}$ als $x^{2}$ um.

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Schritt 1.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(x^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$y = x^{\frac{4}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = x^{\frac{2}{1}} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y = x^{2} + 4 {\sqrt{x}}^{3} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{3}$ als $\sqrt{x^{3}}$ um.

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{3}} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$y = x^{2} + 4 \sqrt{x^{2} x} \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = x^{2} + 4 (x \sqrt{x}) \cdot - 9 + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.5

Mutltipliziere $- 9$ mit $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {\sqrt{x}}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 1.1.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{\frac{2}{2}} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x^{1} {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.6.5

Vereinfache.

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x {(- 9)}^{2} + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.7

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 6 x \cdot 81 + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.8

Mutltipliziere $81$ mit $6$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} {(- 9)}^{3} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.9

Potenziere $- 9$ mit $3$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x + 4 \sqrt{x} \cdot - 729 + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $- 729$ mit $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + {(- 9)}^{4} + 1$

Schritt 1.1.2.11

Potenziere $- 9$ mit $4$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6561 + 1$

Schritt 1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1

Addiere $6561$ und $1$ .

$y = x^{2} - 36 x \sqrt{x} + 486 x - 2916 \sqrt{x} + 6562$

Schritt 1.2.2

Bewege $- 36 x \sqrt{x}$ .

$y = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $y = {(\sqrt{x} - 9)}^{4} + 1$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 3

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $0$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ ein.

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} + 486 (0) - 36 \cdot 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 486 (0) - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $486$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 36 \cdot (0 \sqrt{0}) - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (0) = 0 + 0 + 0 \sqrt{0^{2}} - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Schritt 3.2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 0 + 0 + 0 \cdot 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Schritt 3.2.1.6

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0} + 6562$

Schritt 3.2.1.7

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \sqrt{0^{2}} + 6562$

Schritt 3.2.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 2916 \cdot 0 + 6562$

Schritt 3.2.1.9

Mutltipliziere $- 2916$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 0 + 6562$

Schritt 3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 6562$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 6562$

Schritt 3.2.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0 + 6562$

Schritt 3.2.2.4

Addiere $0$ und $6562$ .

$f (0) = 6562$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $6562$ .

$6562$

Schritt 4

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(0, 6562)$ .

$(0, 6562)$

Schritt 5

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 5.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 4097)$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} + 486 (1) - 36 \cdot 1 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Schritt 5.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 1 + 486 (1) - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Schritt 5.1.2.1.2

Mutltipliziere $486$ mit $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot (1 \sqrt{1}) - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Schritt 5.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \sqrt{1} - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Schritt 5.1.2.1.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 \cdot 1 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Schritt 5.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 36$ mit $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \sqrt{1} + 6562$

Schritt 5.1.2.1.6

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 \cdot 1 + 6562$

Schritt 5.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 2916$ mit $1$ .

$f (1) = 1 + 486 - 36 - 2916 + 6562$

Schritt 5.1.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.1.2.2.1

Addiere $1$ und $486$ .

$f (1) = 487 - 36 - 2916 + 6562$

Schritt 5.1.2.2.2

Subtrahiere $36$ von $487$ .

$f (1) = 451 - 2916 + 6562$

Schritt 5.1.2.2.3

Subtrahiere $2916$ von $451$ .

$f (1) = - 2465 + 6562$

Schritt 5.1.2.2.4

Addiere $- 2465$ und $6562$ .

$f (1) = 4097$

Schritt 5.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $4097$ .

$y = 4097$

Schritt 5.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = x^{2} + 486 x - 36 x \sqrt{x} - 2916 \sqrt{x} + 6562$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, 7538 - 2988 \sqrt{2})$ .

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Schritt 5.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = {(2)}^{2} + 486 (2) - 36 \cdot 2 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Schritt 5.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (2) = 4 + 486 (2) - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $486$ mit $2$ .

$f (2) = 4 + 972 - 36 \cdot (2 \sqrt{2}) - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Schritt 5.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$f (2) = 4 + 972 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.2.2.1

Addiere $4$ und $972$ .

$f (2) = 976 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2} + 6562$

Schritt 5.2.2.2.2

Addiere $976$ und $6562$ .

$f (2) = 7538 - 72 \sqrt{2} - 2916 \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2.2.3

Subtrahiere $2916 \sqrt{2}$ von $- 72 \sqrt{2}$ .

$f (2) = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

Schritt 5.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $7538 - 2988 \sqrt{2}$ .

$y = 7538 - 2988 \sqrt{2}$

Schritt 5.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0, 6562), (1, 4097), (2, 3312.33)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & 6562 \\ 1 & 4097 \\ 2 & 3312.33 \end{array}$

Schritt 6