Trigonometrie Beispiele

${(x + 1)}^{2} + {(v - 4)}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere ${(v - 4)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{2} = {(x + 3)}^{2} - {(v - 4)}^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere ${(x + 3)}^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - {(v - 4)}^{2}$

Schritt 1.3

Vereinfache $- {(v - 4)}^{2}$ .

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Schritt 1.3.1

Schreibe ${(v - 4)}^{2}$ als $(v - 4) (v - 4)$ um.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - ((v - 4) (v - 4))$

Schritt 1.3.2

Multipliziere $(v - 4) (v - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v (v - 4) - 4 (v - 4))$

Schritt 1.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 (v - 4))$

Schritt 1.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Schritt 1.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Schritt 1.3.3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 \cdot v - 4 v - 4 \cdot - 4)$

Schritt 1.3.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 v - 4 v + 16)$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $4 v$ von $- 4 v$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 8 v + 16)$

Schritt 1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} - (- 8 v) - 1 \cdot 16$

Schritt 1.3.5

Vereinfache.

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Schritt 1.3.5.1

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 1 \cdot 16$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 16$

Schritt 1.4

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Addiere $v^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} = 8 v - 16$

Schritt 1.4.1.2

Subtrahiere $8 v$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v = - 16$

Schritt 1.4.1.3

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2

Vereinfache ${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16$ .

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$(x + 1) (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + 1) + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} + x + x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.4

Schreibe ${(x + 3)}^{2}$ als $(x + 3) (x + 3)$ um.

$x^{2} + 2 x + 1 - ((x + 3) (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.5

Multipliziere $(x + 3) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.4.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.4.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.6.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.6.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.6.2

Addiere $3 x$ und $3 x$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 6 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1.8.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$2 x + 1 + 0 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.2.2

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$2 x + 1 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.3

Subtrahiere $6 x$ von $2 x$ .

$- 4 x + 1 - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.4

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$- 4 x - 8 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

Schritt 1.4.2.5

Addiere $- 8$ und $16$ .

$- 4 x + v^{2} - 8 v + 8 = 0$

Schritt 1.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $v^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x - 8 v + 8 = - v^{2}$

Schritt 1.5.2

Addiere $8 v$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x + 8 = - v^{2} + 8 v$

Schritt 1.5.3

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$

Schritt 1.6

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.6.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $- 4$ .

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Schritt 1.6.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8 v$ heraus.

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{4 (2 v)}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.6.3.1.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 v}{- 1}$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.6.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot (2 v)$ als $- (2 v)$ um.

$x = \frac{v^{2}}{4} - (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.6.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + \frac{- 8}{- 4}$

Schritt 1.6.3.1.5

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + 2$

Schritt 2

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 2.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- v^{2} + 8 v - 16$ an.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 16$

Schritt 2.1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $2$ .

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Schritt 2.1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.1.3.2.1.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Schritt 2.1.1.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$d = - 4$

Schritt 2.1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 16 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.4.2.1.1

Potenziere $8$ mit $2$ .

$e = - 16 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = - 16 - \frac{64}{- 4}$

Schritt 2.1.1.4.2.1.3

Dividiere $64$ durch $- 4$ .

$e = - 16 - - 16$

Schritt 2.1.1.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$e = - 16 + 16$

Schritt 2.1.1.4.2.2

Addiere $- 16$ und $16$ .

$e = 0$

Schritt 2.1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(v - 4)}^{2} + 0$ ein.

$- {(v - 4)}^{2} + 0$

Schritt 2.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - {(v - 4)}^{2} + 0$

Schritt 2.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(v - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 0$

Schritt 2.3

Da der Wert von $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet.

Öffnet nach unten

Schritt 2.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, 0)$

Schritt 2.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 2.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 2.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 2.5.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Schritt 2.5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4}$

Schritt 2.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 2.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 2.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, - \frac{1}{4})$

Schritt 2.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$v = 4$

Schritt 2.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 2.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 2.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{1}{4}$

Schritt 2.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(4, 0)$

Brennpunkt: $(4, - \frac{1}{4})$

Symmetrieachse: $v = 4$

Leitlinie: $y = \frac{1}{4}$

Richtung: Nach unten offen

Scheitelpunkt: $(4, 0)$

Brennpunkt: $(4, - \frac{1}{4})$

Symmetrieachse: $v = 4$

Leitlinie: $y = \frac{1}{4}$

Schritt 3