Trigonometrie Beispiele

$x^{2} + y^{2} - x + \frac{5}{3} y - \frac{8}{3} = 0$

Schritt 1

Addiere $\frac{8}{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + y^{2} - x + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3}$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} - x$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 1$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 3

Setze ${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $x^{2} - x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - x + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3}$

Schritt 4

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3} + \frac{1}{4}$

Schritt 5

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} + \frac{5}{3} y$ an.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $y$ .

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

Schritt 5.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Schritt 5.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 5.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.2.3

Multipliziere $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.4.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Schritt 5.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 5.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.1.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Schritt 5.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Schritt 5.5.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 5.5.2.1.4

Multipliziere $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 5.5.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{25}{9}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Schritt 5.5.2.1.4.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Schritt 5.5.2.2

Subtrahiere $\frac{25}{36}$ von $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Schritt 5.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ ein.

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Schritt 6

Setze ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ für $y^{2} + \frac{5}{3} y$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - x + \frac{5}{3} y = \frac{8}{3}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{8}{3} + \frac{1}{4}$

Schritt 7

Bringe $- \frac{25}{36}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{25}{36}$ auf beiden Seiten.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8}{3} + \frac{1}{4} + \frac{25}{36}$

Schritt 8

Vereinfache $\frac{8}{3} + \frac{1}{4} + \frac{25}{36}$ .

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Schritt 8.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{12}{12}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8}{3} \cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{36}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $\frac{8}{3}$ mit $\frac{12}{12}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{3 \cdot 12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{36}$

Schritt 8.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{3 \cdot 12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

Schritt 8.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{3 \cdot 12} + \frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Schritt 8.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{36} + \frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12}{36} + \frac{9}{36} + \frac{25}{36}$

Schritt 8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{8 \cdot 12 + 9 + 25}{36}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $12$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{96 + 9 + 25}{36}$

Schritt 8.3.2

Addiere $96$ und $9$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{105 + 25}{36}$

Schritt 8.3.3

Addiere $105$ und $25$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{130}{36}$

Schritt 8.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $130$ und $36$ .

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $2$ aus $130$ heraus.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{2 (65)}{36}$

Schritt 8.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $36$ heraus.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{2 \cdot 65}{2 \cdot 18}$

Schritt 8.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{2 \cdot 65}{2 \cdot 18}$

Schritt 8.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(x - \frac{1}{2})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{65}{18}$

Schritt 9

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 10

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{\sqrt{130}}{6}$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{5}{6}$

Schritt 11

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(\frac{1}{2}, - \frac{5}{6})$

Schritt 12

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(\frac{1}{2}, - \frac{5}{6})$

Radius: $\frac{\sqrt{130}}{6}$

Schritt 13