Trigonometrie Beispiele

$\frac{y + 1}{y^{2} - 4 y - 12}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ nicht definiert ist.

$y = - 2, y = 6$

Schritt 2

Da $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $y$ $\to$ $- 2$ von links und $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $y$ $\to$ $- 2$ von rechts, dann ist $y = - 2$ eine vertikale Asymptote.

$y = - 2$

Schritt 3

Da $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $y$ $\to$ $6$ von links und $\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $y$ $\to$ $6$ von rechts, dann ist $y = 6$ eine vertikale Asymptote.

$y = 6$

Schritt 4

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$y = - 2, 6$

Schritt 5

$x = \frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$ ist eine Gleichung einer Geraden, was bedeutet, dass es keine horizontalen Asymptoten gibt.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $y^{2} - 4 y - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 6, 2$

Schritt 6.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{y + 1}{(y - 6) (y + 2)}$

Schritt 6.2

Multipliziere $(y - 6) (y + 2)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + 1}{y (y + 2) - 6 (y + 2)}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + 1}{y \cdot y + y \cdot 2 - 6 (y + 2)}$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y + 1}{y \cdot y + y \cdot 2 - 6 y - 6 \cdot 2}$

Schritt 6.2.4

Stelle $y$ und $2$ um.

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Schritt 6.2.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Schritt 6.2.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{y + 1}{y \cdot y + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Schritt 6.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y + 1}{y^{1 + 1} + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Schritt 6.2.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 6 y - 6 \cdot 2}$

Schritt 6.2.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} + 2 y - 6 y - 12}$

Schritt 6.2.10

Subtrahiere $6 y$ von $2 y$ .

$\frac{y + 1}{y^{2} - 4 y - 12}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y^{2}$

$4 y$

$12$

$y$

$1$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$0 + \frac{y^{2} - 3 y - 11}{y^{2} - 4 y - 12}$

Schritt 6.5

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 0$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $y = - 2, 6$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 0$

Schritt 8