Trigonometrie Beispiele

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 < 0$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \cos (3 x)$ heraus.

$2 \cos^{2} (3 x) + 5 \cos (3 x) - 3 = 0$

Schritt 1.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$2 \cos^{2} (3 x) + (- 1 + 6) \cos (3 x) - 3 = 0$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$2 \cos^{2} (3 x) - 1 \cos (3 x) + 6 \cos (3 x) - 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\cos (3 x) (2 \cos (3 x) - 1) + 3 (2 \cos (3 x) - 1) = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 \cos (3 x) - 1$ .

$(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Schritt 3

Setze $2 \cos (3 x) - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 \cos (3 x) - 1$ gleich $0$ .

$2 \cos (3 x) - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 \cos (3 x) - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 \cos (3 x) = 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (3 x) = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (3 x) = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $\cos (3 x)$ durch $1$ .

$\cos (3 x) = \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$3 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.5

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 3.2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Schritt 3.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.5.3.2

Multipliziere $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.2.5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.2.5.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Schritt 3.2.6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$3 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.7.1

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.7.1.2

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 3.2.7.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 3.2.7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 3.2.7.1.5

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$3 x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 3.2.7.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 π}{3}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.7.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{5 π}{3}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Schritt 3.2.7.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.7.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.7.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Schritt 3.2.7.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{3}$

Schritt 3.2.7.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.7.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 3.2.7.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 3.2.7.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 3}$

Schritt 3.2.7.2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x = \frac{5 π}{9}$

Schritt 3.2.8

Ermittele die Periode von $\cos (3 x)$ .

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Schritt 3.2.8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2.8.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Schritt 3.2.8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Schritt 3.2.9

Die Periode der Funktion $\cos (3 x)$ ist $\frac{2 π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{2 π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 4

Setze $\cos (3 x) + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $\cos (3 x) + 3$ gleich $0$ .

$\cos (3 x) + 3 = 0$

Schritt 4.2

Löse $\cos (3 x) + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (3 x) = - 3$

Schritt 4.2.2

Der Wertebereich des Cosinus ist $- 1 \leq y \leq 1$ . Da $- 3$ nicht in diesen Bereich fällt, gibt es keine Lösung.

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 \cos (3 x) - 1) (\cos (3 x) + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 6

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$

Schritt 7

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 7.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \cos^{2} (3 (1)) + 5 \cos (3 (1)) - 3 < 0$

Schritt 7.1.3

Die linke Seite $- 5.98979219$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 7.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \cos^{2} (3 (2)) + 5 \cos (3 (2)) - 3 < 0$

Schritt 7.2.3

Die linke Seite $3.64470539$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 7.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \cos^{2} (3 (3)) + 5 \cos (3 (3)) - 3 < 0$

Schritt 7.3.3

Die linke Seite $- 5.8953346$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Wahr

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Falsch

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Wahr

$\frac{π}{9} < x < \frac{5 π}{9}$ Wahr

$\frac{5 π}{9} < x < \frac{7 π}{9}$ Falsch

$\frac{7 π}{9} < x < \frac{11 π}{9}$ Wahr

Schritt 8

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{5 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ oder $\frac{7 π}{9} + \frac{2 π n}{3} < x < \frac{11 π}{9} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 9