Trigonometrie Beispiele

$2 \tan (x) > \sqrt{2}$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (x) > \sqrt{2}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \tan (x) > \sqrt{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 \tan (x)}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \tan (x)}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x > \arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Berechne $\arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$ .

$x > 0.6154797$

Schritt 4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$x = 3.14159265 + 0.6154797$

Schritt 5.2

Entferne die Klammern.

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

Schritt 5.3

Addiere $3.14159265$ und $0.6154797$ .

$x = 3.75707236$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 0.6154797 + π n, 3.75707236 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Führe $0.6154797 + π n$ und $3.75707236 + π n$ zu $0.6154797 + π n$ zusammen.

$x = 0.6154797 + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Bestimme den Definitionsbereich von $2 \tan (x) - \sqrt{2}$ .

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Schritt 9.1

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \tan (1) > \sqrt{2}$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $3.11481544$ ist größer als die rechte Seite $1.41421356$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 \tan (3) > \sqrt{2}$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 0.28509308$ ist nicht größer als die rechte Seite $1.41421356$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ Wahr

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ Falsch

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ Wahr

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0.6154797 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13