Trigonometrie Beispiele

$- 3 \sin (π x - 2 x)$

Schritt 1

Wende die Form $a \sin (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 3$

$b = π - 2$

$c = 0$

$d = 0$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $3$

Schritt 3

Ermittele die Periode von $- 3 \sin (π x - 2 x)$ .

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Schritt 3.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2

Ersetze $b$ durch $π - 2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| π - 2 |}$

Schritt 3.3

$π - 2$ ist ungefähr $1.14159265$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{π - 2}$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{π - 2}$

Schritt 4.3

Dividiere $0$ durch $π - 2$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $3$

Periode: $\frac{2 π}{π - 2}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - 3 \sin (π (0) - 2 \cdot 0)$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Mutltipliziere $π$ mit $0$ .

$f (0) = - 3 \sin (0 - 2 \cdot 0)$

Schritt 6.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$f (0) = - 3 \sin (0 + 0)$

Schritt 6.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = - 3 \sin (0)$

Schritt 6.1.2.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (0) = - 3 \cdot 0$

Schritt 6.1.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 6.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{π}{2 (π - 2)}$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2 (π - 2)}$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (π (\frac{π}{2 (π - 2)}) - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere $π (\frac{π}{2 (π - 2)})$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{π}{2 (π - 2)}$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π π}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π π}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.2.2.1.1.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π π}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.2.2.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{1 + 1}}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - 2 \frac{π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} + 2 (- 1) (\frac{π}{2 (π - 2)}))$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 (π - 2)}))$

Schritt 6.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - 1 \frac{π}{π - 2})$

Schritt 6.2.2.1.3

Schreibe $- 1 \frac{π}{π - 2}$ als $- \frac{π}{π - 2}$ um.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{π}{π - 2})$

Schritt 6.2.2.2

Um $- \frac{π}{π - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{π}{π - 2} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (π - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{π - 2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{π \cdot 2}{(π - 2) \cdot 2})$

Schritt 6.2.2.3.2

Stelle die Faktoren von $(π - 2) \cdot 2$ um.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{π \cdot 2}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2} - π \cdot 2}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π^{2} - 2 π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.2.2.6

Berechne $\sin (\frac{π^{2} - 2 π}{2 (π - 2)})$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3 \cdot 1$

Schritt 6.2.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{2 (π - 2)}) = - 3$

Schritt 6.2.2.8

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{π}{π - 2}$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{π - 2}$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (π (\frac{π}{π - 2}) - 2 \frac{π}{π - 2})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Multipliziere $π (\frac{π}{π - 2})$ .

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{π}{π - 2}$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π π}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π π}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π π}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Schritt 6.3.2.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{1 + 1}}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Schritt 6.3.2.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{π - 2} - 2 \frac{π}{π - 2})$

Schritt 6.3.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{π}{π - 2}$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{π - 2} + \frac{- 2 π}{π - 2})$

Schritt 6.3.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{2}}{π - 2} - \frac{2 π}{π - 2})$

Schritt 6.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π^{2} - 2 π}{π - 2})$

Schritt 6.3.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \sin (0)$

Schritt 6.3.2.4

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = - 3 \cdot 0$

Schritt 6.3.2.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (\frac{π}{π - 2}) = 0$

Schritt 6.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{3 π}{2 (π - 2)}$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3 π}{2 (π - 2)}$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (π (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Multipliziere $π (\frac{3 π}{2 (π - 2)})$ .

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Schritt 6.4.2.1.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3 π}{2 (π - 2)}$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{π (3 π)}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.4.2.1.1.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 (π π)}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.4.2.1.1.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 (π π)}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.4.2.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{1 + 1}}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.4.2.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - 2 \frac{3 π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} + 2 (- 1) (\frac{3 π}{2 (π - 2)}))$

Schritt 6.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 π}{2 (π - 2)}))$

Schritt 6.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - 1 \frac{3 π}{π - 2})$

Schritt 6.4.2.1.3

Schreibe $- 1 \frac{3 π}{π - 2}$ als $- \frac{3 π}{π - 2}$ um.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{3 π}{π - 2})$

Schritt 6.4.2.2

Um $- \frac{3 π}{π - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{3 π}{π - 2} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 6.4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (π - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{π - 2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{3 π \cdot 2}{(π - 2) \cdot 2})$

Schritt 6.4.2.3.2

Stelle die Faktoren von $(π - 2) \cdot 2$ um.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2}}{2 (π - 2)} - \frac{3 π \cdot 2}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2} - 3 π \cdot 2}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \sin (\frac{3 π^{2} - 6 π}{2 (π - 2)})$

Schritt 6.4.2.6

Berechne $\sin (\frac{3 π^{2} - 6 π}{2 (π - 2)})$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = - 3 \cdot - 1$

Schritt 6.4.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2 (π - 2)}) = 3$

Schritt 6.4.2.8

Die endgültige Lösung ist $3$ .

$3$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{2 π}{π - 2}$ .

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Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 π}{π - 2}$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (π (\frac{2 π}{π - 2}) - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.2.1.1

Multipliziere $π (\frac{2 π}{π - 2})$ .

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Schritt 6.5.2.1.1.1

Kombiniere $π$ und $\frac{2 π}{π - 2}$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{π (2 π)}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Schritt 6.5.2.1.1.2

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 (π π)}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Schritt 6.5.2.1.1.3

Potenziere $π$ mit $1$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 (π π)}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Schritt 6.5.2.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{1 + 1}}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Schritt 6.5.2.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2}}{π - 2} - 2 \frac{2 π}{π - 2})$

Schritt 6.5.2.1.2

Multipliziere $- 2 \frac{2 π}{π - 2}$ .

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Schritt 6.5.2.1.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 π}{π - 2}$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2}}{π - 2} + \frac{- 2 (2 π)}{π - 2})$

Schritt 6.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2}}{π - 2} + \frac{- 4 π}{π - 2})$

Schritt 6.5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2}}{π - 2} - \frac{4 π}{π - 2})$

Schritt 6.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \sin (\frac{2 π^{2} - 4 π}{π - 2})$

Schritt 6.5.2.3

Berechne $\sin (\frac{2 π^{2} - 4 π}{π - 2})$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = - 3 \cdot 0$

Schritt 6.5.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$f (\frac{2 π}{π - 2}) = 0$

Schritt 6.5.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2 (π - 2)} & - 3 \\ \frac{π}{π - 2} & 0 \\ \frac{3 π}{2 (π - 2)} & 3 \\ \frac{2 π}{π - 2} & 0 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $3$

Periode: $\frac{2 π}{π - 2}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{π}{2 (π - 2)} & - 3 \\ \frac{π}{π - 2} & 0 \\ \frac{3 π}{2 (π - 2)} & 3 \\ \frac{2 π}{π - 2} & 0 \end{array}$

Schritt 8