Trigonometrie Beispiele

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 x - 2 = 0$

Schritt 1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 4 y^{2} + 4 x = 2$

Schritt 2

Teile beide Seiten der Gleichung durch $4$ .

$x^{2} + y^{2} + x = \frac{1}{2}$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + x$ an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 1$

$c = 0$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $\frac{1}{4}$ von $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ ein.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$

Schritt 4

Setze ${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4}$ für $x^{2} + x$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} + x = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} + y^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Bringe $- \frac{1}{4}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{1}{4}$ auf beiden Seiten.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 6

Vereinfache $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ .

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Schritt 6.1

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{4}$

Schritt 6.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{1}{4}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{2 + 1}{4}$

Schritt 6.4

Addiere $2$ und $1$ .

${(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{3}{4}$

Schritt 7

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 8

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$h = - \frac{1}{2}$

$k = 0$

Schritt 9

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(- \frac{1}{2}, 0)$

Schritt 10

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(- \frac{1}{2}, 0)$

Radius: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 11