Trigonometrie Beispiele

$5 x^{2} + 5 y^{2} - 12 y = 2$

Schritt 1

Teile beide Seiten der Gleichung durch $5$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{12 y}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 2

Wende die quadratische Ergänzung auf $y^{2} - \frac{12 y}{5}$ an.

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Schritt 2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - \frac{12}{5}$

$c = 0$

Schritt 2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- \frac{12}{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 1$ und $1$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$d = \frac{- 1 (1) \frac{12}{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{12}{5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- \frac{12}{5}}{2}$

Schritt 2.3.2.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{12}{5}$ in den Zähler.

$d = \frac{- 12}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{2 (- 6)}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 2.3.2.3.4

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 6}{5}$

Schritt 2.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{6}{5}$

Schritt 2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- \frac{12}{5})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{12}{5}$ an.

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{12}{5})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{12}{5})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{12}{5}$ an.

$e = 0 - \frac{1 \frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.4

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{144}{5^{2}}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{144}{25})}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.1.6

Mutltipliziere $\frac{144}{25}$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{144}{25}}{4 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{144}{25}}{4}$

Schritt 2.4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = 0 - (\frac{144}{25} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 2.4.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $144$ heraus.

$e = 0 - (\frac{4 (36)}{25} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 2.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 36}{25} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 2.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 0 - \frac{36}{25}$

Schritt 2.4.2.2

Subtrahiere $\frac{36}{25}$ von $0$ .

$e = - \frac{36}{25}$

Schritt 2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(y - \frac{6}{5})}^{2} - \frac{36}{25}$ ein.

${(y - \frac{6}{5})}^{2} - \frac{36}{25}$

Schritt 3

Setze ${(y - \frac{6}{5})}^{2} - \frac{36}{25}$ für $y^{2} - \frac{12 y}{5}$ ein in der Gleichung $x^{2} + y^{2} - \frac{12 y}{5} = \frac{2}{5}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} - \frac{36}{25} = \frac{2}{5}$

Schritt 4

Bringe $- \frac{36}{25}$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $\frac{36}{25}$ auf beiden Seiten.

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2}{5} + \frac{36}{25}$

Schritt 5

Vereinfache $\frac{2}{5} + \frac{36}{25}$ .

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Schritt 5.1

Um $\frac{2}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{36}{25}$

Schritt 5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{36}{25}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2 \cdot 5}{25} + \frac{36}{25}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{2 \cdot 5 + 36}{25}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{10 + 36}{25}$

Schritt 5.4.2

Addiere $10$ und $36$ .

$x^{2} + {(y - \frac{6}{5})}^{2} = \frac{46}{25}$

Schritt 6

Dies ist die Form eines Kreises. Benutze diese Form, um den Mittelpunkt und den Radius des Kreises zu ermitteln.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Schritt 7

Gleiche die Werte in diesem Kreis mit denen der Standardform ab. Die Variable $r$ stellt den Radius des Kreises dar, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$r = \frac{\sqrt{46}}{5}$

$h = 0$

$k = \frac{6}{5}$

Schritt 8

Der Mittelpunkt des Kreises liegt bei $(h, k)$ .

Mittelpunkt: $(0, \frac{6}{5})$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse eines Kreises dar.

Mittelpunkt: $(0, \frac{6}{5})$

Radius: $\frac{\sqrt{46}}{5}$

Schritt 10