Trigonometrie Beispiele

$y = \tan (x) | \cos (x) |$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = | \cos (x) | \tan (x)$ gleich $(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n))$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $\cos (x)$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $\cos (x) = 0$ .

$\cos (x) = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung $\cos (x) = 0$ , um die $x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x = \arccos (0)$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Der genau Wert von $\arccos (0)$ ist $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.3

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.2.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Schritt 1.2.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.5

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 1.2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.2.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.2.6

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{2} + π n$ .

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 1.4

Vereinfache $| \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)$ .

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Schritt 1.4.1

Schreibe $\tan (\frac{π}{2} + π n)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) | (\frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)})$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $| \cos (\frac{π}{2} + π n) |$ und $\frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$ .

$y = \frac{| \cos (\frac{π}{2} + π n) | \sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$

Schritt 1.4.3

Separiere Brüche.

$y = \frac{| \cos (\frac{π}{2} + π n) |}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$

Schritt 1.4.4

Wandle von $\frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$ nach $\tan (\frac{π}{2} + π n)$ um.

$y = \frac{| \cos (\frac{π}{2} + π n) |}{1} \cdot \tan (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 1.4.5

Dividiere $| \cos (\frac{π}{2} + π n) |$ durch $1$ .

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)$

Schritt 1.5

Die Absolutwert-Spitze ist $(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n))$ .

$(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n))$

Schritt 2

Bestimme den Definitionsbereich von $y = | \cos (x) | \tan (x)$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Betragsfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 2.1

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)),$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{π}{2} + π n & | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n) \end{array}$

Schritt 4