Trigonometrie Beispiele

$θ^{2} = (\frac{4 π^{2}}{G M}) r^{3}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4 π^{2}}{G M} \cdot r^{3} = θ^{2}$ um.

$\frac{4 π^{2}}{G M} \cdot r^{3} = θ^{2}$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{4 π^{2}}{G M}$ und $r^{3}$ .

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{G M} = θ^{2}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten mit $G M$ .

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{G M} (G M) = θ^{2} (G M)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $G M$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{G M} (G M) = θ^{2} (G M)$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 π^{2} r^{3} = θ^{2} (G M)$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$4 π^{2} r^{3} = θ^{2} G M$

Schritt 5

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 π^{2} r^{3} = θ^{2} G M$ durch $4 π^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 π^{2} r^{3} = θ^{2} G M$ durch $4 π^{2}$ .

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{4 π^{2}} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 π^{2} r^{3}}{4 π^{2}} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Schritt 5.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π^{2} r^{3}}{π^{2}} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Schritt 5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $π^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π^{2} r^{3}}{π^{2}} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Schritt 5.1.2.2.2

Dividiere $r^{3}$ durch $1$ .

$r^{3} = \frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}$

Schritt 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{\frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}}$ .

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Schritt 5.3.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{θ^{2} G M}{4 π^{2}}}$ als $\frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}}$ um.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}}$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M}}{\sqrt[3]{4 π^{2}}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{4 π^{2}} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{4 π^{2}}$ mit $1$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{3}}$

Schritt 5.3.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{3}$ als $4 π^{2}$ um.

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Schritt 5.3.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 π^{2}}$ als ${(4 π^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{({(4 π^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.3.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{(4 π^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.3.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{(4 π^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.3.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{(4 π^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.3.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{{(4 π^{2})}^{1}}$

Schritt 5.3.3.5.5

Vereinfache.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} {\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4 π^{2}}}^{2}$ als $\sqrt[3]{{(4 π^{2})}^{2}}$ um.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{{(4 π^{2})}^{2}}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Produktregel auf $4 π^{2}$ an.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{4^{2} {(π^{2})}^{2}}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{16 {(π^{2})}^{2}}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.4

Multipliziere die Exponenten in ${(π^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{16 π^{2 \cdot 2}}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{16 π^{4}}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $16 π^{4}$ als ${(2 π)}^{3} \cdot (2 π)$ um.

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Schritt 5.3.4.5.1

Faktorisiere $8$ aus $16$ heraus.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{8 (2) π^{4}}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 π^{4}}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Faktorisiere $π^{3}$ aus.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 (π^{3} π)}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Bewege $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{2^{3} π^{3} \cdot 2 π}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Schreibe $2^{3} π^{3}$ als ${(2 π)}^{3}$ um.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{{(2 π)}^{3} \cdot 2 π}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.5.6

Füge Klammern hinzu.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \sqrt[3]{{(2 π)}^{3} \cdot (2 π)}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M} \cdot 2 π \sqrt[3]{2 π}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.4.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$r = \frac{2 π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.3.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}$ heraus.

$r = \frac{2 (π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{4 π^{2}}$

Schritt 5.3.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 π^{2}$ heraus.

$r = \frac{2 (π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{2 (2 π^{2})}$

Schritt 5.3.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2 (π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{2 (2 π^{2})}$

Schritt 5.3.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{2 π^{2}}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $π$ und $π^{2}$ .

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Schritt 5.3.5.2.1

Faktorisiere $π$ aus $π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}$ heraus.

$r = \frac{π (\sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{2 π^{2}}$

Schritt 5.3.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.5.2.2.1

Faktorisiere $π$ aus $2 π^{2}$ heraus.

$r = \frac{π (\sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π})}{π (2 π)}$

Schritt 5.3.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{π \sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{π (2 π)}$

Schritt 5.3.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{2 π}$

Schritt 5.3.5.3

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{θ^{2} G M \cdot 2 π}}{2 π}$ um.

$r = \frac{\sqrt[3]{2 θ^{2} G M π}}{2 π}$