Trigonometrie Beispiele

$\frac{16}{y + 2} - \frac{7 y}{y^{2} - 7}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ nicht definiert ist.

$y = - \sqrt{7}, y = - 2, y = \sqrt{7}$

Schritt 2

Da $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ von links und $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ von rechts, dann ist $y = - \sqrt{7}$ eine vertikale Asymptote.

$y = - \sqrt{7}$

Schritt 3

Da $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $y$ $\to$ $- 2$ von links und $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $y$ $\to$ $- 2$ von rechts, dann ist $y = - 2$ eine vertikale Asymptote.

$y = - 2$

Schritt 4

Da $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ von links und $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ von rechts, dann ist $y = \sqrt{7}$ eine vertikale Asymptote.

$y = \sqrt{7}$

Schritt 5

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

Schritt 6

$x = \frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ ist eine Gleichung einer Geraden, was bedeutet, dass es keine horizontalen Asymptoten gibt.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 7

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Schritt 7.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y^{3} + 2 y^{2}) - 7 y - 14}$

Schritt 7.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{2} (y + 2) - 7 (y + 2)}$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $y + 2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$

Schritt 7.2

Multipliziere $(y + 2) (y^{2} - 7)$ aus.

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Schritt 7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y (y^{2} - 7) + 2 (y^{2} - 7)}$

Schritt 7.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 (y^{2} - 7)}$

Schritt 7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Schritt 7.2.4

Stelle $y$ und $- 7$ um.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Schritt 7.2.5

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Schritt 7.2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{1 + 2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Schritt 7.2.7

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} - 14}$

Schritt 7.2.9

Bewege $- 7 y$ .

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Schritt 7.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$7 y$

$14$

$9 y^{2}$

$14 y$

$112$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$0 + \frac{y^{3} + 11 y^{2} - 21 y - 126}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

Schritt 7.5

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 0$

Schritt 8

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 0$

Schritt 9