Trigonometrie Beispiele

$\log_{3} (\sqrt{9 x^{3}})$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $y = \log_{3} (\sqrt{9 x^{3}})$ , sodass eine Liste von $x$ -Werten ausgewählt werden kann, um eine Liste von Punkten zu erzeugen, die dazu dient, die Wurzelfunktion graphisch darzustellen.

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Schritt 1.1

Setze das Argument in $\log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$3 | x | \sqrt{x} > 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$| x | = 0$

$\sqrt{x} = 0$

Schritt 1.2.2

Setze $| x |$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Setze $| x |$ gleich $0$ .

$| x | = 0$

Schritt 1.2.2.2

Löse $| x | = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.3

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 | x | \sqrt{x} > 0$ wahr machen.

$x = 0$

Schritt 1.2.4

Bestimme den Definitionsbereich von $3 | x | \sqrt{x}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.2.4.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 1.2.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x > 0$

Schritt 1.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 1.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Intervallschreibweise:

$(0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0}$

Schritt 2

Um den Endpunkt des Wurzelausdrucks zu ermitteln, setze den $x$ -Wert $0$ , welcher der kleinste Wert im Definitionsbereich ist, in $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \log_{3} (3 | 0 | \sqrt{0})$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$f (0) = \log_{3} (3 | 0 | \sqrt{0})$

Schritt 2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$f (0) = \log_{3} (3 \cdot (0 \sqrt{0}))$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$f (0) = \log_{3} (0 \sqrt{0})$

Schritt 2.5

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (0) = \log_{3} (0 \sqrt{0^{2}})$

Schritt 2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (0) = \log_{3} (0 \cdot 0)$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$f (0) = \log_{3} (0)$

Schritt 2.8

Der Logarithmus von null ist nicht definiert.

$f (0) = Undefined$

Undefiniert

Schritt 3

Der Endpunkt des Wurzelausdrucks ist $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Schritt 4

Wähle einige $x$ -Werte aus dem Definitionsbereich. Es wäre nützlicher, die Werte so zu wählen, dass sie nahe beim $x$ -Wert des Endpunktes des Wurzelausdrucks liegen.

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Schritt 4.1

Setze den $x$ -Wert $1$ in $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(1, 1)$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 | 1 | \sqrt{1})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (1) = \log_{3} (3 | 1 | \sqrt{1})$

Schritt 4.1.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \cdot (1 \sqrt{1}))$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \sqrt{1})$

Schritt 4.1.2.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3 \cdot 1)$

Schritt 4.1.2.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (1) = \log_{3} (3)$

Schritt 4.1.2.6

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (1) = 1$

Schritt 4.1.2.7

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 4.2

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = \log_{3} (3 | x | \sqrt{x})$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \log_{3} (6 \sqrt{2}))$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \log_{3} (3 | 2 | \sqrt{2})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.2.1

Entferne die Klammern.

$f (2) = \log_{3} (3 | 2 | \sqrt{2})$

Schritt 4.2.2.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$f (2) = \log_{3} (3 \cdot (2 \sqrt{2}))$

Schritt 4.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (2) = \log_{3} (6 \sqrt{2})$

Schritt 4.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $\log_{3} (6 \sqrt{2})$ .

$y = \log_{3} (6 \sqrt{2})$

Schritt 4.3

Die Quadratwurzelfunktion kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(0, Undefined), (1, 1), (2, 1.95)$ graphisch dargestellt werden

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.95 \end{array}$

Schritt 5