Trigonometrie Beispiele

$y x^{2} - 9 y = 42$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} - 9 y$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2}$ heraus.

$y (x^{2}) - 9 y = 42$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- 9 y$ heraus.

$y (x^{2}) + y \cdot - 9 = 42$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{2}) + y \cdot - 9$ heraus.

$y (x^{2} - 9) = 42$

Schritt 1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y (x^{2} - 3^{2}) = 42$

Schritt 1.3

Faktorisiere.

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Schritt 1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$y ((x + 3) (x - 3)) = 42$

Schritt 1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$y (x + 3) (x - 3) = 42$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) (x - 3) = 42$ durch $(x + 3) (x - 3)$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x + 3) (x - 3) = 42$ durch $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 3$ .

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Schritt 1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 1.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$

Schritt 2

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ nicht definiert ist.

$x = - 3, x = 3$

Schritt 3

Da $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 3$ von links und $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $- 3$ von rechts, dann ist $x = - 3$ eine vertikale Asymptote.

$x = - 3$

Schritt 4

Da $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $3$ von links und $\frac{42}{(x + 3) (x - 3)}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $3$ von rechts, dann ist $x = 3$ eine vertikale Asymptote.

$x = 3$

Schritt 5

Liste alle vertikalen Asymptoten auf:

$x = - 3, 3$

Schritt 6

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 7

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 0$

$m = 2$

Schritt 8

Da $n < m$ , ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

$y = 0$

Schritt 9

Es gibt keine schiefe Asymptote, da der Grad des Zählers kleiner oder gleich dem Grad des Nenners ist.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 10

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 3, 3$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 11