Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \log_{\frac{1}{3}} (3 - x)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$3 - x = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 3$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 3$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \log_{\frac{1}{3}} (3 - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (2) = \log_{\frac{1}{3}} (3 - 2)$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f (2) = \log_{\frac{1}{3}} (1)$

Schritt 2.2.3

Die logarithmische Basis $\frac{1}{3}$ von $1$ ist $0$ .

$f (2) = 0$

Schritt 2.2.4

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$= 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \log_{\frac{1}{3}} (3 - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = \log_{\frac{1}{3}} (3 - 1)$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$f (1) = \log_{\frac{1}{3}} (2)$

Schritt 3.2.3

Die endgültige Lösung ist $\log_{\frac{1}{3}} (2)$ .

$\log_{\frac{1}{3}} (2)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\log_{\frac{1}{3}} (2)$ nach Dezimal.

$= - 0.63092975$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \log_{\frac{1}{3}} (3 - (0))$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $0$ von $3$ .

$f (0) = \log_{\frac{1}{3}} (3)$

Schritt 4.2.2

Die logarithmische Basis $\frac{1}{3}$ von $3$ ist $- 1$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe zu einer Gleichung um.

$\log_{\frac{1}{3}} (3) = x$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe $\log_{\frac{1}{3}} (3) = x$ mithilfe der Definition eines Logarithmus in Exponentialform um. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ nicht gleich $1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

${(\frac{1}{3})}^{x} = 3$

Schritt 4.2.2.3

Erzeuge Ausdrücke in der Gleichung, die alle die gleiche Basis haben.

${(3^{- 1})}^{x} = 3^{1}$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe ${(3^{- 1})}^{x}$ als $3^{- x}$ um.

$3^{- x} = 3^{1}$

Schritt 4.2.2.5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$- x = 1$

Schritt 4.2.2.6

Löse nach $x$ auf.

$x = - 1$

Schritt 4.2.2.7

Die Variable $x$ ist gleich $- 1$ .

$f (0) = - 1$

Schritt 4.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 4.3

Konvertiere $- 1$ nach Dezimal.

$= - 1$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 3$ und den Punkten $(2, 0), (1, - 0.63092975), (0, - 1)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 1 \\ 1 & - 0.631 \\ 2 & 0 \end{array}$

Schritt 6