Trigonometrie Beispiele

$y = \sec (4 x - 2 π)$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \sec (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (4 x - 2 π)$ zu bestimmen. Setze das Innere der Sekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \sec (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \sec (4 x - 2 π)$ auftritt.

$4 x - 2 π = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.1.1

Addiere $2 π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - \frac{π}{2} + 2 π$

Schritt 1.2.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x = - \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 x = - \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{- π + 2 π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x = \frac{- π + 4 π}{2}$

Schritt 1.2.1.5.2

Addiere $- π$ und $4 π$ .

$4 x = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{3 π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{3 π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.2.2.3.2

Multipliziere $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3 π}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Sekansfunktion $4 x - 2 π$ gleich $\frac{3 π}{2}$ .

$4 x - 2 π = \frac{3 π}{2}$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Addiere $2 π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = \frac{3 π}{2} + 2 π$

Schritt 1.4.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 x = \frac{3 π + 2 π \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x = \frac{3 π + 4 π}{2}$

Schritt 1.4.1.5.2

Addiere $3 π$ und $4 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{2}$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{7 π}{2}$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = \frac{7 π}{2}$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{2}}{4}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{2}}{4}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{2}}{4}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 1.4.2.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 1.4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{2}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.4.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \sec (4 x - 2 π)$ tritt auf bei $(\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8})$ , wobei $\frac{3 π}{8}$ und $\frac{7 π}{8}$ vertikale Asymptoten sind.

$(\frac{3 π}{8}, \frac{7 π}{8})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 1.6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \sec (4 x - 2 π)$ treten auf bei $\frac{3 π}{8}$ , $\frac{7 π}{8}$ und jedem $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$

Schritt 1.8

Der Sekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \sec (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 1$

$b = 4$

$c = 2 π$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $s e c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $\sec (4 x - 2 π)$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $4$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $4$ ist $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π}{2}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{2 π}{4}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{2 (π)}{4}$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π}{2}$

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{4}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π}{2}$

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2}$ ( $\frac{π}{2}$ nach rechts)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8