Trigonometrie Beispiele

$y = - 4 \cos (\frac{1}{2} \cdot (x - \frac{π}{3}) + 3)$

Schritt 1

Wende die Form $a \cos (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 4$

$b = \frac{1}{2}$

$c = - (- \frac{π}{6} + 3)$

$d = 0$

Schritt 2

Bestimme die Amplitude $| a |$ .

Amplitude: $4$

Schritt 3

Ermittele die Periode von $- 4 \cos (\frac{x}{2} - \frac{π}{6} + 3)$ .

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Schritt 3.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 3.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{2}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Schritt 3.3

$\frac{1}{2}$ ist ungefähr $0.5$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 2$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 π$

Schritt 4

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 4.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 4.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- (- \frac{π}{6} + 3)}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- (- \frac{π}{6} + 3) \cdot 2$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

Phasenverschiebung: $(\frac{π}{6} - 1 \cdot 3) \cdot 2$

Schritt 4.5

Multipliziere $- - \frac{π}{6}$ .

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

Phasenverschiebung: $(1 (\frac{π}{6}) - 1 \cdot 3) \cdot 2$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $\frac{π}{6}$ mit $1$ .

Phasenverschiebung: $(\frac{π}{6} - 1 \cdot 3) \cdot 2$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

Phasenverschiebung: $(\frac{π}{6} - 3) \cdot 2$

Schritt 4.7

Wende das Distributivgesetz an.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{6} \cdot 2 - 3 \cdot 2$

Schritt 4.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2 (3)} \cdot 2 - 3 \cdot 2$

Schritt 4.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{2 \cdot 3} \cdot 2 - 3 \cdot 2$

Schritt 4.8.3

Forme den Ausdruck um.

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} - 3 \cdot 2$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} - 6$

Schritt 5

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: $4$

Periode: $4 π$

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} - 6$ ( $- (\frac{π}{3} - 6)$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 6

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 6.1

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{π}{3} - 6$ .

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Schritt 6.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{π}{3} - 6$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{π}{3} - 6}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.1.1.1

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{π}{3} - 6 \cdot \frac{3}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.1.2.1.1.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 6 \cdot 3}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.1.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{π - 6 \cdot 3}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.1.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{π - 18}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.1.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{π - 18}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.1.2.1.3

Multipliziere $\frac{π - 18}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.1.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{π - 18}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{π - 18}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.1.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{π - 18}{6} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{π - 18 - π}{6})$

Schritt 6.1.2.2.2

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{0 - 18}{6})$

Schritt 6.1.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.2.2.3.1

Subtrahiere $18$ von $0$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{- 18}{6})$

Schritt 6.1.2.2.3.2

Dividiere $- 18$ durch $6$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 - 3)$

Schritt 6.1.2.2.3.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cos (0)$

Schritt 6.1.2.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4 \cdot 1$

Schritt 6.1.2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (\frac{π}{3} - 6) = - 4$

Schritt 6.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 6.2

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{4 π}{3} - 6$ .

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Schritt 6.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{4 π}{3} - 6$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{4 π}{3} - 6}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\frac{4 π}{3} - 6$ und $2$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{4 π}{3}$ heraus.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{2 π}{3}) - 6}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{2 π}{3}) + 2 \cdot - 3}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{2 π}{3} + 2 (- 3)$ heraus.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{2 π}{3} - 3)}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{2 π}{3} - 3)}{2 (1)} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{2 π}{3} - 3)}{2 \cdot 1} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{2 π}{3} - 3}{1} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2.1.4.4

Dividiere $\frac{2 π}{3} - 3$ durch $1$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π}{3} - 3 - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2.2

Um $\frac{2 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6} - 3 + 3)$

Schritt 6.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6} - 3 + 3)$

Schritt 6.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6} - 3 + 3)$

Schritt 6.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6} - 3 + 3)$

Schritt 6.2.2.5

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.2.2.5.1

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3}{1} + 3)$

Schritt 6.2.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{6}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3 \cdot 6}{6} + 3)$

Schritt 6.2.2.5.4

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3 \cdot 6}{6} + \frac{3}{1})$

Schritt 6.2.2.5.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3 \cdot 6}{6} + \frac{3}{1} \cdot \frac{6}{6})$

Schritt 6.2.2.5.6

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3 \cdot 6}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6})$

Schritt 6.2.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 π \cdot 2 - π - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 6}{6})$

Schritt 6.2.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{4 π - π - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 6}{6})$

Schritt 6.2.2.7.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{4 π - π - 18 + 3 \cdot 6}{6})$

Schritt 6.2.2.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{4 π - π - 18 + 18}{6})$

Schritt 6.2.2.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.2.8.1

Subtrahiere $π$ von $4 π$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 π - 18 + 18}{6})$

Schritt 6.2.2.8.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 6.2.2.8.2.1

Addiere $- 18$ und $18$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 π + 0}{6})$

Schritt 6.2.2.8.2.2

Addiere $3 π$ und $0$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 π}{6})$

Schritt 6.2.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 6.2.2.8.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

Schritt 6.2.2.8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.8.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Schritt 6.2.2.8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Schritt 6.2.2.8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 6.2.2.9

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = - 4 \cdot 0$

Schritt 6.2.2.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (\frac{4 π}{3} - 6) = 0$

Schritt 6.2.2.11

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.3

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{7 π}{3} - 6$ .

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Schritt 6.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{7 π}{3} - 6$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{7 π}{3} - 6}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.2.1.1.1

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{7 π}{3} - 6 \cdot \frac{3}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.3.2.1.1.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{7 π}{3} + \frac{- 6 \cdot 3}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.3.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{7 π - 6 \cdot 3}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.3.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{7 π - 18}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.3.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{7 π - 18}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.3.2.1.3

Multipliziere $\frac{7 π - 18}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{7 π - 18}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{7 π - 18}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.3.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{7 π - 18}{6} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.3.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{7 π - 18 - π}{6})$

Schritt 6.3.2.2.2

Subtrahiere $π$ von $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 π - 18}{6})$

Schritt 6.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 π - 18$ und $6$ .

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Schritt 6.3.2.2.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 π$ heraus.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (π) - 18}{6})$

Schritt 6.3.2.2.3.2

Faktorisiere $6$ aus $- 18$ heraus.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (π) + 6 \cdot - 3}{6})$

Schritt 6.3.2.2.3.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (π) + 6 (- 3)$ heraus.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (π - 3)}{6})$

Schritt 6.3.2.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.2.3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (π - 3)}{6 (1)})$

Schritt 6.3.2.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (π - 3)}{6 \cdot 1})$

Schritt 6.3.2.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{π - 3}{1})$

Schritt 6.3.2.2.3.4.4

Dividiere $π - 3$ durch $1$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + π - 3)$

Schritt 6.3.2.2.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.3.2.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (0 + π)$

Schritt 6.3.2.2.4.2

Addiere $0$ und $π$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cos (π)$

Schritt 6.3.2.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im zweiten Quadranten negativ ist.

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 (- \cos (0))$

Schritt 6.3.2.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 (- 1 \cdot 1)$

Schritt 6.3.2.5

Multipliziere $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 6.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = - 4 \cdot - 1$

Schritt 6.3.2.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{3} - 6) = 4$

Schritt 6.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $4$ .

$4$

Schritt 6.4

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{10 π}{3} - 6$ .

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Schritt 6.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{10 π}{3} - 6$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{10 π}{3} - 6}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\frac{10 π}{3} - 6$ und $2$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{10 π}{3}$ heraus.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{5 π}{3}) - 6}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{5 π}{3}) + 2 \cdot - 3}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{5 π}{3} + 2 (- 3)$ heraus.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{5 π}{3} - 3)}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{5 π}{3} - 3)}{2 (1)} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{2 (\frac{5 π}{3} - 3)}{2 \cdot 1} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{5 π}{3} - 3}{1} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2.1.4.4

Dividiere $\frac{5 π}{3} - 3$ durch $1$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π}{3} - 3 - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2.2

Um $\frac{5 π}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6} - 3 + 3)$

Schritt 6.4.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6} - 3 + 3)$

Schritt 6.4.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6} - 3 + 3)$

Schritt 6.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6} - 3 + 3)$

Schritt 6.4.2.5

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.4.2.5.1

Schreibe $- 3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3}{1} + 3)$

Schritt 6.4.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{6}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{- 3}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3 \cdot 6}{6} + 3)$

Schritt 6.4.2.5.4

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3 \cdot 6}{6} + \frac{3}{1})$

Schritt 6.4.2.5.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3 \cdot 6}{6} + \frac{3}{1} \cdot \frac{6}{6})$

Schritt 6.4.2.5.6

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6} + \frac{- 3 \cdot 6}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6})$

Schritt 6.4.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{5 π \cdot 2 - π - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 6}{6})$

Schritt 6.4.2.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{10 π - π - 3 \cdot 6 + 3 \cdot 6}{6})$

Schritt 6.4.2.7.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{10 π - π - 18 + 3 \cdot 6}{6})$

Schritt 6.4.2.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{10 π - π - 18 + 18}{6})$

Schritt 6.4.2.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.4.2.8.1

Subtrahiere $π$ von $10 π$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{9 π - 18 + 18}{6})$

Schritt 6.4.2.8.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 6.4.2.8.2.1

Addiere $- 18$ und $18$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{9 π + 0}{6})$

Schritt 6.4.2.8.2.2

Addiere $9 π$ und $0$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{9 π}{6})$

Schritt 6.4.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $6$ .

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Schritt 6.4.2.8.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9 π$ heraus.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

Schritt 6.4.2.8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.8.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Schritt 6.4.2.8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Schritt 6.4.2.8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{3 π}{2})$

Schritt 6.4.2.9

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{π}{2})$

Schritt 6.4.2.10

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = - 4 \cdot 0$

Schritt 6.4.2.11

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (\frac{10 π}{3} - 6) = 0$

Schritt 6.4.2.12

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 6.5

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{13 π}{3} - 6$ .

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Schritt 6.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{13 π}{3} - 6$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{13 π}{3} - 6}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.2.1.1.1

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{13 π}{3} - 6 \cdot \frac{3}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.5.2.1.1.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{13 π}{3} + \frac{- 6 \cdot 3}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.5.2.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{13 π - 6 \cdot 3}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{\frac{13 π - 18}{3}}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.5.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{13 π - 18}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.5.2.1.3

Multipliziere $\frac{13 π - 18}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{13 π - 18}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{13 π - 18}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.5.2.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (\frac{13 π - 18}{6} - \frac{π}{6} + 3)$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.5.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{13 π - 18 - π}{6})$

Schritt 6.5.2.2.2

Subtrahiere $π$ von $13 π$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{12 π - 18}{6})$

Schritt 6.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 π - 18$ und $6$ .

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Schritt 6.5.2.2.3.1

Faktorisiere $6$ aus $12 π$ heraus.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (2 π) - 18}{6})$

Schritt 6.5.2.2.3.2

Faktorisiere $6$ aus $- 18$ heraus.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (2 π) + 6 \cdot - 3}{6})$

Schritt 6.5.2.2.3.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2 π) + 6 (- 3)$ heraus.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (2 π - 3)}{6})$

Schritt 6.5.2.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.2.3.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (2 π - 3)}{6 (1)})$

Schritt 6.5.2.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{6 (2 π - 3)}{6 \cdot 1})$

Schritt 6.5.2.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + \frac{2 π - 3}{1})$

Schritt 6.5.2.2.3.4.4

Dividiere $2 π - 3$ durch $1$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (3 + 2 π - 3)$

Schritt 6.5.2.2.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 6.5.2.2.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (2 π + 0)$

Schritt 6.5.2.2.4.2

Addiere $2 π$ und $0$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (2 π)$

Schritt 6.5.2.3

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cos (0)$

Schritt 6.5.2.4

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4 \cdot 1$

Schritt 6.5.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f (\frac{13 π}{3} - 6) = - 4$

Schritt 6.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- 4$ .

$- 4$

Schritt 6.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} - 6 & - 4 \\ \frac{4 π}{3} - 6 & 0 \\ \frac{7 π}{3} - 6 & 4 \\ \frac{10 π}{3} - 6 & 0 \\ \frac{13 π}{3} - 6 & - 4 \end{array}$

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Amplitude: $4$

Periode: $4 π$

Phasenverschiebung: $\frac{π}{3} - 6$ ( $- (\frac{π}{3} - 6)$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{3} - 6 & - 4 \\ \frac{4 π}{3} - 6 & 0 \\ \frac{7 π}{3} - 6 & 4 \\ \frac{10 π}{3} - 6 & 0 \\ \frac{13 π}{3} - 6 & - 4 \end{array}$

Schritt 8