Trigonometrie Beispiele

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (x) < 2 \sin (x)$ durch $\tan (x)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (x) < 2 \sin (x)$ durch $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (x)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Separiere Brüche.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ zu dividieren.

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 1.3.4

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Schritt 1.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

Schritt 1.3.6

Dividiere $2$ durch $1$ .

$1 < 2 \cos (x)$

Schritt 2

Stelle so um, dass $\cos (x)$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$2 \cos (x) > 1$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) > 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cos (x) > 1$ durch $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $\cos (x)$ durch $1$ .

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

Schritt 4

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arccos (\frac{1}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x > \frac{π}{3}$

Schritt 6

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 7

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 7.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\cos (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\tan (x) - 2 \sin (x)$ .

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Schritt 10.1

Setze das Argument in $\tan (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.31$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $1.31$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $3.74708097$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.9323699$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 0.14254654$ ist kleiner als die rechte Seite $0.28224001$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $- 3.380515$ ist kleiner als die rechte Seite $- 1.91784854$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $- 0.29100619$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 0.55883099$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.5

Teste einen Wert im Intervall $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 7.59$

Schritt 12.5.2

Ersetze $x$ durch $7.59$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

Schritt 12.5.3

Die linke Seite $3.69973691$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $1.93071743$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.6

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.6.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 9$

Schritt 12.6.2

Ersetze $x$ durch $9$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

Schritt 12.6.3

Die linke Seite $- 0.45231565$ ist kleiner als die rechte Seite $0.82423697$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.7

Teste einen Wert im Intervall $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.7.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 11$

Schritt 12.7.2

Ersetze $x$ durch $11$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

Schritt 12.7.3

Die linke Seite $- 225.95084645$ ist kleiner als die rechte Seite $- 1.99998041$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.8

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Wahr

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falsch

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Falsch

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Wahr

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Wahr

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ Wahr

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ Falsch

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ Falsch

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ Wahr

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

Schritt 14

Vereine die Intervalle.

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 15