Trigonometrie Beispiele

$y = 2 \arccos (x + \frac{π}{2})$

Schritt 1

Wähle einige Punkte aus, um den Graphen zu zeichnen.

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Schritt 1.1

Bestimme den Punkt bei $x = - 1 - \frac{π}{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1 - \frac{π}{2}$ .

$f (- 1 - \frac{π}{2}) = 2 \arccos ((- 1 - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

Schritt 1.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- 1 - \frac{π}{2}) = 2 \arccos (- 1 + \frac{- π + π}{2})$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $- π$ und $π$ .

$f (- 1 - \frac{π}{2}) = 2 \arccos (- 1 + \frac{0}{2})$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$f (- 1 - \frac{π}{2}) = 2 \arccos (- 1 + 0)$

Schritt 1.1.2.3.2

Addiere $- 1$ und $0$ .

$f (- 1 - \frac{π}{2}) = 2 \arccos (- 1)$

Schritt 1.1.2.4

Der genau Wert von $\arccos (- 1)$ ist $π$ .

$f (- 1 - \frac{π}{2}) = 2 π$

Schritt 1.1.2.5

Die endgültige Lösung ist $2 π$ .

$2 π$

Schritt 1.2

Bestimme den Punkt bei $x = - \frac{2 + 3 π}{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{2 + 3 π}{4}$ .

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos ((- \frac{2 + 3 π}{4}) + \frac{π}{2})$

Schritt 1.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.2.2.1

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos (- \frac{2 + 3 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos (- \frac{2 + 3 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.2.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos (- \frac{2 + 3 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4})$

Schritt 1.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{- (2 + 3 π) + π \cdot 2}{4})$

Schritt 1.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{- 1 \cdot 2 - (3 π) + π \cdot 2}{4})$

Schritt 1.2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{- 2 - (3 π) + π \cdot 2}{4})$

Schritt 1.2.2.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{- 2 - 3 π + π \cdot 2}{4})$

Schritt 1.2.2.4.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{- 2 - 3 π + 2 \cdot π}{4})$

Schritt 1.2.2.4.5

Addiere $- 3 π$ und $2 π$ .

$f (- \frac{2 + 3 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{- 2 - π}{4})$

Schritt 1.2.2.5

Die endgültige Lösung ist $2 \arccos (\frac{- 2 - π}{4})$ .

$2 \arccos (\frac{- 2 - π}{4})$

Schritt 1.3

Bestimme den Punkt bei $x = - π$ .

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Schritt 1.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- π$ .

$f (- π) = 2 \arccos ((- π) + \frac{π}{2})$

Schritt 1.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.3.2.1

Um $- π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- π) = 2 \arccos (- π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.3.2.2.1

Kombiniere $- π$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (- π) = 2 \arccos (\frac{- π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Schritt 1.3.2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- π) = 2 \arccos (\frac{- π \cdot 2 + π}{2})$

Schritt 1.3.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f (- π) = 2 \arccos (\frac{- 2 π + π}{2})$

Schritt 1.3.2.3.2

Addiere $- 2 π$ und $π$ .

$f (- π) = 2 \arccos (\frac{- π}{2})$

Schritt 1.3.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- π) = 2 \arccos (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $2 \arccos (- \frac{π}{2})$ .

$2 \arccos (- \frac{π}{2})$

Schritt 1.4

Bestimme den Punkt bei $x = \frac{2 - 5 π}{4}$ .

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Schritt 1.4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2 - 5 π}{4}$ .

$f (\frac{2 - 5 π}{4}) = 2 \arccos ((\frac{2 - 5 π}{4}) + \frac{π}{2})$

Schritt 1.4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.4.2.1

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 - 5 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{2 - 5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 1.4.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 - 5 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{2 - 5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.4.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2 - 5 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{2 - 5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4})$

Schritt 1.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 - 5 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{2 - 5 π + π \cdot 2}{4})$

Schritt 1.4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.2.4.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$f (\frac{2 - 5 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{2 - 5 π + 2 \cdot π}{4})$

Schritt 1.4.2.4.2

Addiere $- 5 π$ und $2 π$ .

$f (\frac{2 - 5 π}{4}) = 2 \arccos (\frac{2 - 3 π}{4})$

Schritt 1.4.2.5

Die endgültige Lösung ist $2 \arccos (\frac{2 - 3 π}{4})$ .

$2 \arccos (\frac{2 - 3 π}{4})$

Schritt 1.5

Bestimme den Punkt bei $x = 1 - \frac{3 π}{2}$ .

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Schritt 1.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1 - \frac{3 π}{2}$ .

$f (1 - \frac{3 π}{2}) = 2 \arccos ((1 - \frac{3 π}{2}) + \frac{π}{2})$

Schritt 1.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 1.5.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (1 - \frac{3 π}{2}) = 2 \arccos (1 + \frac{- 3 π + π}{2})$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $- 3 π$ und $π$ .

$f (1 - \frac{3 π}{2}) = 2 \arccos (1 + \frac{- 2 π}{2})$

Schritt 1.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 π$ heraus.

$f (1 - \frac{3 π}{2}) = 2 \arccos (1 + \frac{2 (- π)}{2})$

Schritt 1.5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (1 - \frac{3 π}{2}) = 2 \arccos (1 + \frac{2 (- π)}{2 (1)})$

Schritt 1.5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (1 - \frac{3 π}{2}) = 2 \arccos (1 + \frac{2 (- π)}{2 \cdot 1})$

Schritt 1.5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (1 - \frac{3 π}{2}) = 2 \arccos (1 + \frac{- π}{1})$

Schritt 1.5.2.3.2.4

Dividiere $- π$ durch $1$ .

$f (1 - \frac{3 π}{2}) = 2 \arccos (1 - π)$

Schritt 1.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $2 \arccos (1 - π)$ .

$2 \arccos (1 - π)$

Schritt 1.6

Erfasse die Punkte in einer Tabelle.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 1 - \frac{3 π}{2} & 2 \arccos (1 - π) \\ \frac{2 - 5 π}{4} & 2 \arccos (\frac{2 - 3 π}{4}) \\ - π & 2 \arccos (- \frac{π}{2}) \\ - \frac{2 + 3 π}{4} & 2 \arccos (\frac{- 2 - π}{4}) \\ - 1 - \frac{π}{2} & 2 π \end{array}$

Schritt 2

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Punkte graphisch dargestellt werden.

Schritt 3