Trigonometrie Beispiele

$\tan (h (- \sqrt{3}))$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (- x \sqrt{3})$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \tan (- x \sqrt{3})$ auftritt.

$- x \sqrt{3} = - \frac{π}{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- x \sqrt{3} = - \frac{π}{2}$ durch $- \sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \sqrt{3} = - \frac{π}{2}$ durch $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- x \sqrt{3}}{- \sqrt{3}} = \frac{- \frac{π}{2}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{- \frac{π}{2}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{- \frac{π}{2}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{\frac{π}{2}}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{π}{2} (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.2.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 1.2.3.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 1.2.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 1.2.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 1.2.3.5

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 1.2.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = \frac{π \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{π \sqrt{3}}{6}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Tangensfunktion $- x \sqrt{3}$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$- x \sqrt{3} = \frac{π}{2}$

Schritt 1.4

Teile jeden Ausdruck in $- x \sqrt{3} = \frac{π}{2}$ durch $- \sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \sqrt{3} = \frac{π}{2}$ durch $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- x \sqrt{3}}{- \sqrt{3}} = \frac{\frac{π}{2}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{π}{2}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{π}{2}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.4.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.4.3.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{3}}$

Schritt 1.4.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{π}{2} (- \frac{1}{\sqrt{3}})$

Schritt 1.4.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{π}{2} (- (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))$

Schritt 1.4.3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

Schritt 1.4.3.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

Schritt 1.4.3.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

Schritt 1.4.3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

Schritt 1.4.3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

Schritt 1.4.3.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.4.3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 1.4.3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 1.4.3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 1.4.3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 1.4.3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

Schritt 1.4.3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 1.4.3.5

Multipliziere $\frac{π}{2} (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 1.4.3.5.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$x = - \frac{π \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Schritt 1.4.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = - \frac{π \sqrt{3}}{6}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = \tan (- x \sqrt{3})$ tritt auf bei $(\frac{π \sqrt{3}}{6}, - \frac{π \sqrt{3}}{6})$ , wobei $\frac{π \sqrt{3}}{6}$ und $- \frac{π \sqrt{3}}{6}$ vertikale Asymptoten sind.

$(\frac{π \sqrt{3}}{6}, - \frac{π \sqrt{3}}{6})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{π}{| b |}$ , um zu bestimmen, an welchen Stellen die vertikalen Asymptoten existieren.

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Schritt 1.6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 1$ und $0$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2

Wende die Form $a \tan (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = 1$

$b = \sqrt{3} \cdot - 1$

$c = 0$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $t a n$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $\tan (- x \sqrt{3})$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $\sqrt{3} \cdot - 1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| \sqrt{3} \cdot - 1 |}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$\frac{π}{| - 1 \cdot \sqrt{3} |}$

Schritt 4.3.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

$\frac{π}{| - \sqrt{3} |}$

Schritt 4.3.3

$- \sqrt{3}$ ist ungefähr $- 1.7320508$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \sqrt{3}$ um und entferne den Absolutwert

$\frac{π}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{π}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{π}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{π}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{π \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{π \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{π \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{π \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{π \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{π \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{π \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{π \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{π \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{π \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{π \sqrt{3}}{3}$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{\sqrt{3} \cdot - 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

Phasenverschiebung: $\frac{0}{- 1 \cdot \sqrt{3}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe $- 1 \sqrt{3}$ als $- \sqrt{3}$ um.

Phasenverschiebung: $\frac{0}{- \sqrt{3}}$

Schritt 5.4

Dividiere $0$ durch $- \sqrt{3}$ .

Phasenverschiebung: $0$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π \sqrt{3}}{3}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

$π$

Amplitude: Keine

Periode: $\frac{π \sqrt{3}}{3}$

Phasenverschiebung: Keine.

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8