Trigonometrie Beispiele

$\tan (θ) = \sin (θ)$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (θ) = \sin (θ)$ durch $\tan (θ)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $\tan (θ) = \sin (θ)$ durch $\tan (θ)$ .

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\sin (θ)}{\tan (θ)}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\tan (θ)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{\sin (θ)}{\tan (θ)}$

Schritt 1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{\sin (θ)}{\tan (θ)}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\tan (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$1 = \frac{\sin (θ)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Schritt 1.3.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ zu dividieren.

$1 = \sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 1.3.3

Schreibe $\sin (θ)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$1 = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (θ)$ .

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Schritt 1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Schritt 1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \cos (θ)$

Schritt 2

Schreibe die Gleichung als $\cos (θ) = 1$ um.

$\cos (θ) = 1$

Schritt 3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $θ$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$θ = \arccos (1)$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Der genau Wert von $\arccos (1)$ ist $0$ .

$θ = 0$

Schritt 5

Die Kosinusfunktion ist positiv im ersten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$θ = 2 π - 0$

Schritt 6

Subtrahiere $0$ von $2 π$ .

$θ = 2 π$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\cos (θ)$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 7.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\cos (θ)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$θ = 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$