Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

Schritt 3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x < π$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $3 (π - \frac{π}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = π \cdot 3 - π$

Schritt 5.2.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = 3 π - π$

Schritt 5.2.2.1.4

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 6.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{3})$ ist $6 π$ , d. h., Werte werden sich alle $6 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $π < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $0.99540795$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.8660254$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $2 π < x < 7 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 π < x < 7 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 9$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $9$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0.14112$ ist kleiner als die rechte Seite $0.8660254$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $7 π < x < 8 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $7 π < x < 8 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 24$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $24$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $0.98935824$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.8660254$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$π < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < 7 π$ Wahr

$7 π < x < 8 π$ Falsch

$π < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < 7 π$ Wahr

$7 π < x < 8 π$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11