Trigonometrie Beispiele

$\sin (2 x) > \cos (2 x)$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 2

Wandle von $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ nach $\tan (2 x)$ um.

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (2 x)$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (2 x) > \frac{\cos (2 x)}{\cos (2 x)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (2 x) > 1$

Schritt 4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$2 x > \arctan (1)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$2 x > \frac{π}{4}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $2 x > \frac{π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x > \frac{π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x > \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{4 \cdot 2}$

Schritt 6.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x > \frac{π}{8}$

Schritt 7

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$2 x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 8.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 8.1.4

Addiere $π \cdot 4$ und $π$ .

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Schritt 8.1.4.1

Stelle $π$ und $4$ um.

$2 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 8.1.4.2

Addiere $4 \cdot π$ und $π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{2}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 8.2.3.2

Multipliziere $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 8.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 8.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Schritt 9

Ermittele die Periode von $\tan (2 x)$ .

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Schritt 9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 9.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 10

Die Periode der Funktion $\tan (2 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$

$\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2 (1)) > \cos (2 (1))$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $0.90929742$ ist größer als die rechte Seite $- 0.41614683$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2 (3)) > \cos (2 (3))$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 0.27941549$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.96017028$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Wahr

$\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ Falsch

$\frac{π}{8} < x < \frac{5 π}{8}$ Wahr

$\frac{5 π}{8} < x < \frac{9 π}{8}$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{8} + \frac{π n}{2} < x < \frac{5 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14