Trigonometrie Beispiele

$\ln (x) + \ln (x^{2})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Setze das Argument des Logarithmus gleich null.

$x^{3} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 1.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 1.3

Die vertikale Asymptote tritt bei $x = 0$ auf.

Vertikale Asymptote: $x = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \ln (1) + \ln ({(1)}^{2})$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (1) = \ln (1 {(1)}^{2})$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere ${(1)}^{2}$ mit $1$ .

$f (1) = \ln ({(1)}^{2})$

Schritt 2.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \ln (1)$

Schritt 2.2.4

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \ln (2) + \ln ({(2)}^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (2) = \ln (2 {(2)}^{2})$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit ${(2)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Potenziere $2$ mit $1$ .

$f (2) = \ln (2 {(2)}^{2})$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (2) = \ln (2^{1 + 2})$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (2) = \ln (2^{3})$

Schritt 3.2.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = \ln (8)$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Schritt 3.3

Konvertiere $\ln (8)$ nach Dezimal.

$y = 2.07944154$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \ln (3) + \ln ({(3)}^{2})$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2})$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit ${(3)}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f (3) = \ln (3 {(3)}^{2})$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (3) = \ln (3^{1 + 2})$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f (3) = \ln (3^{3})$

Schritt 4.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \ln (27)$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung ist $\ln (27)$ .

$\ln (27)$

Schritt 4.3

Konvertiere $\ln (27)$ nach Dezimal.

$y = 3.29583686$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (2, 2.07944154), (3, 3.29583686)$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 2.079 \\ 3 & 3.296 \end{array}$

Schritt 6