Trigonometrie Beispiele

$y = \frac{4 \log_{3} (x)}{11 x^{3}}$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{\log_{3} (x^{4})}{11 x^{3}}$ nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 1.2

Den Logarithmus außer Acht lassend, betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 1.3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 0$

$m = 3$

Schritt 1.4

Da $n < m$ , ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

$y = 0$

Schritt 1.5

Es sind keine schiefen Asymptoten für logarithmische und trigonometrische Funktionen vorhanden.

Keine schiefen Asymptoten

Schritt 1.6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Vertikale Asymptoten: $x = 0$

Horizontale Asymptoten: $y = 0$

Schritt 2

Bestimme den Punkt bei $x = 1$ .

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{4 \log_{3} (1)}{11 {(1)}^{3}}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 \log_{3} (1)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1^{4})}{11 \cdot 1^{3}}$

Schritt 2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1^{4})}{11 \cdot 1}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = \frac{\log_{3} (1)}{11 \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2

Die logarithmische Basis $3$ von $1$ ist $0$ .

$f (1) = \frac{0}{11 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere $11$ mit $1$ .

$f (1) = \frac{0}{11}$

Schritt 2.2.4.2

Dividiere $0$ durch $11$ .

$f (1) = 0$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 2.3

Konvertiere $0$ nach Dezimal.

$y = 0$

Schritt 3

Bestimme den Punkt bei $x = 2$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{11 {(2)}^{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $4 \log_{3} (2)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{11 \cdot 2^{3}}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{11 \cdot 8}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (16)}{11 \cdot 8}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $11$ mit $8$ .

$f (2) = \frac{\log_{3} (16)}{88}$

Schritt 3.2.5

Schreibe $\log_{3} (16)$ als $\log_{3} (2^{4})$ um.

$f (2) = \frac{\log_{3} (2^{4})}{88}$

Schritt 3.2.6

Zerlege $\log_{3} (2^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{88}$

Schritt 3.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $88$ .

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Schritt 3.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \log_{3} (2)$ heraus.

$f (2) = \frac{4 (\log_{3} (2))}{88}$

Schritt 3.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $88$ heraus.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{4 \cdot 22}$

Schritt 3.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (2) = \frac{4 \log_{3} (2)}{4 \cdot 22}$

Schritt 3.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (2) = \frac{\log_{3} (2)}{22}$

Schritt 3.2.8

Schreibe $\frac{\log_{3} (2)}{22}$ als $\frac{1}{22} \log_{3} (2)$ um.

$f (2) = \frac{1}{22} \cdot \log_{3} (2)$

Schritt 3.2.9

Vereinfache $\frac{1}{22} \log_{3} (2)$ , indem du $\frac{1}{22}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (2) = \log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$

Schritt 3.2.10

Die endgültige Lösung ist $\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$ .

$\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$

Schritt 3.3

Konvertiere $\log_{3} (2^{\frac{1}{22}})$ nach Dezimal.

$y = 0.02867862$

Schritt 4

Bestimme den Punkt bei $x = 3$ .

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Schritt 4.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = \frac{4 \log_{3} (3)}{11 {(3)}^{3}}$

Schritt 4.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 \log_{3} (3)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$f (3) = \frac{\log_{3} (3^{4})}{11 \cdot 3^{3}}$

Schritt 4.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = \frac{\log_{3} (3^{4})}{11 \cdot 27}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $4$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (3) = \frac{4 \log_{3} (3)}{11 \cdot 27}$

Schritt 4.2.3.2

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (3) = \frac{4 \cdot 1}{11 \cdot 27}$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f (3) = \frac{4}{11 \cdot 27}$

Schritt 4.2.4

Mutltipliziere $11$ mit $27$ .

$f (3) = \frac{4}{297}$

Schritt 4.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{4}{297}$ .

$\frac{4}{297}$

Schritt 4.3

Konvertiere $\frac{4}{297}$ nach Dezimal.

$y = 0.\overline{013468}$

Schritt 5

Die logarithmische Funktion kann graphisch dargestellt werden mithilfe der vertikalen Asymptote bei $x = 0$ und den Punkten $(1, 0), (2, 0.02867862), (3, 0.\overline{013468})$ .

Vertikale Asymptote: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.029 \\ 3 & 0.013 \end{array}$

Schritt 6