Trigonometrie Beispiele

$y = 4 (x - 13) (x + 5)$

Schritt 1

Ermittle die Eigenschaften der gegebenen Parabel.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 (x - 13) (x + 5)$ an.

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x + 4 \cdot - 13) (x + 5)$

Schritt 1.1.1.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 13$ .

$(4 x - 52) (x + 5)$

Schritt 1.1.1.1.3

Multipliziere $(4 x - 52) (x + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x (x + 5) - 52 (x + 5)$

Schritt 1.1.1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 52 (x + 5)$

Schritt 1.1.1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Schritt 1.1.1.1.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.1.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1.1.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Schritt 1.1.1.1.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 52 x - 52 \cdot 5$

Schritt 1.1.1.1.4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$4 x^{2} + 20 x - 52 x - 52 \cdot 5$

Schritt 1.1.1.1.4.1.3

Mutltipliziere $- 52$ mit $5$ .

$4 x^{2} + 20 x - 52 x - 260$

Schritt 1.1.1.1.4.2

Subtrahiere $52 x$ von $20 x$ .

$4 x^{2} - 32 x - 260$

Schritt 1.1.1.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 32$

$c = - 260$

Schritt 1.1.1.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.1.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 32$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 32$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (4)}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 16}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $4$ .

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Schritt 1.1.1.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4}$

Schritt 1.1.1.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.4.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}$

Schritt 1.1.1.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 4}{1}$

Schritt 1.1.1.4.2.2.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$d = - 4$

Schritt 1.1.1.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.1.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 260 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.5.2.1.1

Potenziere $- 32$ mit $2$ .

$e = - 260 - \frac{1024}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = - 260 - \frac{1024}{16}$

Schritt 1.1.1.5.2.1.3

Dividiere $1024$ durch $16$ .

$e = - 260 - 1 \cdot 64$

Schritt 1.1.1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$e = - 260 - 64$

Schritt 1.1.1.5.2.2

Subtrahiere $64$ von $- 260$ .

$e = - 324$

Schritt 1.1.1.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - 4)}^{2} - 324$ ein.

$4 {(x - 4)}^{2} - 324$

Schritt 1.1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 4 {(x - 4)}^{2} - 324$

Schritt 1.2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 4$

$h = 4$

$k = - 324$

Schritt 1.3

Da der Wert von $a$ positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

Öffnet nach Oben

Schritt 1.4

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, - 324)$

Schritt 1.5

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 1.5.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 1.5.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{1}{16}$

Schritt 1.6

Ermittle den Brennpunkt.

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Schritt 1.6.1

Der Brennpunkt einer Parabel kann durch Addieren von $p$ zur y-Koordinate $k$ ermittelt werden, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$(h, k + p)$

Schritt 1.6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, - \frac{5183}{16})$

Schritt 1.7

Finde die Symmtrieachse durch Ermitteln der Geraden, die durch den Scheitelpunkt und den Brennpunkt verläuft.

$x = 4$

Schritt 1.8

Finde die Leitlinie.

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Schritt 1.8.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 1.8.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = - \frac{5185}{16}$

Schritt 1.9

Wende die Eigenschaften der Parabel an, um die Parabel zu analysieren und graphisch darzustellen.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(4, - 324)$

Brennpunkt: $(4, - \frac{5183}{16})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = - \frac{5185}{16}$

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(4, - 324)$

Brennpunkt: $(4, - \frac{5183}{16})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = - \frac{5185}{16}$

Schritt 2

Wähle einige $x$ -Werte aus und setze sie in die Gleichung ein, um die entsprechenden $y$ -Werte zu ermitteln. Die $x$ -Werte sollten um den Scheitelpunkt herum gewählt werden.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = 4 ((3) - 13) ((3) + 5)$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $13$ von $3$ .

$f (3) = 4 \cdot (- 10 ((3) + 5))$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 10$ .

$f (3) = - 40 ((3) + 5)$

Schritt 2.2.3

Addiere $3$ und $5$ .

$f (3) = - 40 \cdot 8$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 40$ mit $8$ .

$f (3) = - 320$

Schritt 2.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 320$ .

$- 320$

Schritt 2.3

Der $y$ -Wert bei $x = 3$ ist $- 320$ .

$y = - 320$

Schritt 2.4

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = 4 ((2) - 13) ((2) + 5)$

Schritt 2.5

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.5.1

Subtrahiere $13$ von $2$ .

$f (2) = 4 \cdot (- 11 ((2) + 5))$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 11$ .

$f (2) = - 44 ((2) + 5)$

Schritt 2.5.3

Addiere $2$ und $5$ .

$f (2) = - 44 \cdot 7$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 44$ mit $7$ .

$f (2) = - 308$

Schritt 2.5.5

Die endgültige Lösung ist $- 308$ .

$- 308$

Schritt 2.6

Der $y$ -Wert bei $x = 2$ ist $- 308$ .

$y = - 308$

Schritt 2.7

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f (5) = 4 ((5) - 13) ((5) + 5)$

Schritt 2.8

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.8.1

Subtrahiere $13$ von $5$ .

$f (5) = 4 \cdot (- 8 ((5) + 5))$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 8$ .

$f (5) = - 32 ((5) + 5)$

Schritt 2.8.3

Addiere $5$ und $5$ .

$f (5) = - 32 \cdot 10$

Schritt 2.8.4

Mutltipliziere $- 32$ mit $10$ .

$f (5) = - 320$

Schritt 2.8.5

Die endgültige Lösung ist $- 320$ .

$- 320$

Schritt 2.9

Der $y$ -Wert bei $x = 5$ ist $- 320$ .

$y = - 320$

Schritt 2.10

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = 4 ((6) - 13) ((6) + 5)$

Schritt 2.11

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.11.1

Subtrahiere $13$ von $6$ .

$f (6) = 4 \cdot (- 7 ((6) + 5))$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 7$ .

$f (6) = - 28 ((6) + 5)$

Schritt 2.11.3

Addiere $6$ und $5$ .

$f (6) = - 28 \cdot 11$

Schritt 2.11.4

Mutltipliziere $- 28$ mit $11$ .

$f (6) = - 308$

Schritt 2.11.5

Die endgültige Lösung ist $- 308$ .

$- 308$

Schritt 2.12

Der $y$ -Wert bei $x = 6$ ist $- 308$ .

$y = - 308$

Schritt 2.13

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 308 \\ 3 & - 320 \\ 4 & - 324 \\ 5 & - 320 \\ 6 & - 308 \end{array}$

Schritt 3

Zeichne die Parabel anhand ihrer Eigenschaften und der ausgewählten Punkte.

Richtung: Nach oben offen

Scheitelpunkt: $(4, - 324)$

Brennpunkt: $(4, - \frac{5183}{16})$

Symmetrieachse: $x = 4$

Leitlinie: $y = - \frac{5185}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 308 \\ 3 & - 320 \\ 4 & - 324 \\ 5 & - 320 \\ 6 & - 308 \end{array}$

Schritt 4