Trigonometrie Beispiele

$y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$

Schritt 1

Finde die Asymptoten.

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Schritt 1.1

Für jedes $y = \csc (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Verwende die Grundperiode für $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ zu ermitteln. Setze das Innere der Kosekans-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \csc (b x + c) + d$ gleich $0$ , um zu bestimmen, wo die vertikalen Asymptoten für $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ auftreten.

$2 x + \frac{π}{4} = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - \frac{π}{4}$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - \frac{π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Schritt 1.3

Setze das Innere der Kosekansfunktion $2 x + \frac{π}{4}$ gleich $2 π$ .

$2 x + \frac{π}{4} = 2 π$

Schritt 1.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.4.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1.1

Subtrahiere $\frac{π}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

Schritt 1.4.1.2

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.4.1.3

Kombiniere $2 π$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Schritt 1.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

Schritt 1.4.1.5.2

Subtrahiere $π$ von $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 1.4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{4}$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7 π}{4}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

Schritt 1.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.4.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 1.4.2.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.4.2.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Schritt 1.5

Die fundamentale Periode für $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ tritt auf bei $(- \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8})$ , wobei $- \frac{π}{8}$ und $\frac{7 π}{8}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8})$

Schritt 1.6

Ermittle die Periode $\frac{2 π}{| b |}$ , um herauszufinden, wo die vertikalen Asymptoten existieren. Vertikale Asymptoten treten jede halbe Periode auf.

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Schritt 1.6.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 1.6.2.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 1.7

Die vertikalen Asymptoten für $y = - 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ treten auf bei $- \frac{π}{8}$ , $\frac{7 π}{8}$ und jedem $x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Das ist die Hälfte der Periode.

$x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$

Schritt 1.8

Der Kosekans hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 2

Wende die Form $a \csc (b x - c) + d$ an, um die Variablen, die zur Ermittlung von Amplitude, Periode, Phasenverschiebung und vertikaler Verschiebung genutzt werden, zu bestimmen.

$a = - 2$

$b = 2$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = 0$

Schritt 3

Da der Graph der Funktion $c s c$ kein Maximum oder Minimum hat, kann es keinen Wert für die Amplitude geben.

Amplitude: Keine

Schritt 4

Ermittele die Periode von $- 2 \csc (2 x + \frac{π}{4})$ .

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Schritt 4.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Schritt 4.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 π}{2}$

Schritt 4.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 5

Ermittle die Phasenverschiebung mithilfe der Formel $\frac{c}{b}$ .

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Schritt 5.1

Die Phasenverschiebung der Funktion kann mithilfe von $\frac{c}{b}$ berechnet werden.

Phasenverschiebung: $\frac{c}{b}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $c$ und $b$ in der Gleichung für die Phasenverschiebung.

Phasenverschiebung: $\frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Schritt 5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 5.4

Multipliziere $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{π}{4}$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{8}$

Schritt 6

Liste die Eigenschaften der trigonometrischen Funktion auf.

Amplitude: Keine

Periode: $π$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 7

Die trigonometrische Funktion kann mithilfe der Amplitude, Periode, Phasenverschiebung, vertikalen Verschiebung und den Punkten graphisch dargestellt werden.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Amplitude: Keine

Periode: $π$

Phasenverschiebung: $- \frac{π}{8}$ ( $\frac{π}{8}$ nach links)

Vertikale Verschiebung: Keine

Schritt 8