Trigonometrie Beispiele

$\log (x) = 2 \log (y) - \log (3)$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Schreibe die Gleichung als $2 \log (y) - \log (3) = \log (x)$ um.

$2 \log (y) - \log (3) = \log (x)$

Schritt 1.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \log (y) - \log (3) - \log (x) = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache $2 \log (y) - \log (3) - \log (x)$ .

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Schritt 1.3.1.1

Vereinfache $2 \log (y)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\log (y^{2}) - \log (3) - \log (x) = 0$

Schritt 1.3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{y^{2}}{3}) - \log (x) = 0$

Schritt 1.3.1.3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{y^{2}}{3}}{x}) = 0$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\log (\frac{y^{2}}{3} \cdot \frac{1}{x}) = 0$

Schritt 1.3.1.5

Kombinieren.

$\log (\frac{y^{2} \cdot 1}{3 x}) = 0$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\log (\frac{y^{2}}{3 x}) = 0$

Schritt 1.4

Schreibe $\log (\frac{y^{2}}{3 x}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \frac{y^{2}}{3 x}$

Schritt 1.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2}}{3 x} = 10^{0}$ um.

$\frac{y^{2}}{3 x} = 10^{0}$

Schritt 1.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $3 x$ .

$\frac{y^{2}}{3 x} (3 x) = 10^{0} (3 x)$

Schritt 1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 1.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.3.1.1

Vereinfache $\frac{y^{2}}{3 x} (3 x)$ .

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Schritt 1.5.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{y^{2}}{3 x} x = 10^{0} (3 x)$

Schritt 1.5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$3 \frac{y^{2}}{3 (x)} x = 10^{0} (3 x)$

Schritt 1.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{y^{2}}{3 x} x = 10^{0} (3 x)$

Schritt 1.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2}}{x} x = 10^{0} (3 x)$

Schritt 1.5.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2}}{x} x = 10^{0} (3 x)$

Schritt 1.5.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 10^{0} (3 x)$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Vereinfache $10^{0} (3 x)$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y^{2} = 1 (3 x)$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Mutltipliziere $3 x$ mit $1$ .

$y^{2} = 3 x$

Schritt 1.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.5.4.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{3 x}$

Schritt 1.5.4.2

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.5.4.2.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{3 x}$

Schritt 1.5.4.2.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{3 x}$

Schritt 1.5.4.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{3 x}$

$y = - \sqrt{3 x}$

$y = \sqrt{3 x}$

$y = - \sqrt{3 x}$

$y = \sqrt{3 x}$

$y = - \sqrt{3 x}$

$y = \sqrt{3 x}$

$y = - \sqrt{3 x}$

$y = \sqrt{3 x}$

$y = - \sqrt{3 x}$

Schritt 2

Ermittle den Definitionsbereich, um festzustellen, ob der Ausdruck stetig ist.

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Schritt 2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x \geq 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x \geq 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x \geq 0$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 3

Der Ausdruck ist stetig.

Stetig

Schritt 4