Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{x - 4}{- 4 x^{2} \cdot (4 x) + 24}$

Schritt 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 4}{- 4 x^{2} \cdot (4 x) + 24}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 4 x^{2} \cdot (4 x) + 24 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 4 \cdot 4 x^{2} x + 24 = 0$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$- 4 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 24 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 4 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 24 = 0$

Schritt 1.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 \cdot 4 x^{1 + 2} + 24 = 0$

Schritt 1.2.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 4 \cdot 4 x^{3} + 24 = 0$

Schritt 1.2.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$- 16 x^{3} + 24 = 0$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 x^{3} = - 24$

Schritt 1.2.3

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 16 x^{3} + 24 = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $- 8$ aus $- 16 x^{3} + 24$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $- 8$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$- 8 (2 x^{3}) + 24 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $- 8$ aus $24$ heraus.

$- 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot - 3 = 0$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere $- 8$ aus $- 8 (2 x^{3}) - 8 (- 3)$ heraus.

$- 8 (2 x^{3} - 3) = 0$

Schritt 1.2.5

Teile jeden Ausdruck in $- 8 (2 x^{3} - 3) = 0$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 (2 x^{3} - 3) = 0$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 (2 x^{3} - 3)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 (2 x^{3} - 3)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Dividiere $2 x^{3} - 3$ durch $1$ .

$2 x^{3} - 3 = \frac{0}{- 8}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $- 8$ .

$2 x^{3} - 3 = 0$

Schritt 1.2.6

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{3} = 3$

Schritt 1.2.7

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{3} = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{3}}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.7.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.9

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.9.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 1.2.9.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.9.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.9.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.9.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.9.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 1.2.9.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 1.2.9.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.9.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 1.2.9.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 1.2.9.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 1.2.9.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.9.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 1.2.9.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.9.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 1.2.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 1.2.9.4.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{3} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 1.2.9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.9.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 4}}{2}$

Schritt 1.2.9.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{\sqrt[3]{12}}{2}) \cup (\frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{\sqrt[3]{12}}{2}}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \frac{\sqrt[3]{12}}{2}) \cup (\frac{\sqrt[3]{12}}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{\sqrt[3]{12}}{2}}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\frac{x - 4}{- 4 x^{2} \cdot (4 x) + 24}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 3