Trigonometrie Beispiele

$x^{2} - 5 y^{2} = 6$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{6}{5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

Schritt 1.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = - \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}$

Schritt 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}}$

Schritt 1.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}}$ .

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Schritt 1.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{- 6 + x^{2}}{5}}$

Schritt 1.4.2

Schreibe $\sqrt{\frac{- 6 + x^{2}}{5}}$ als $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 1.4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 1.4.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 1.4.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 1.4.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.4.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 1.4.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 1.4.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.4.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.4.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.4.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 1.4.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 1.4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 6 + x^{2}) \cdot 5}}{5}$

Schritt 1.4.6

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(- 6 + x^{2}) \cdot 5}}{5}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Schritt 1.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Schritt 1.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Schritt 1.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

Schritt 2

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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Schritt 2.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 (- 6 + x^{2}) \geq 0$

Schritt 2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $5 (- 6 + x^{2})$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \cdot - 6 + 5 x^{2} \geq 0$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$- 30 + 5 x^{2} \geq 0$

Schritt 2.2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = - \sqrt{6}, \sqrt{6}$

Schritt 2.2.3

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \sqrt{6}$

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$

$x > \sqrt{6}$

Schritt 2.2.4

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.2.4.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \sqrt{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.2.4.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \sqrt{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 2.2.4.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 (- 6 + {(- 5)}^{2}) \geq 0$

Schritt 2.2.4.1.3

Die linke Seite $95$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.2.4.2

Teste einen Wert im Intervall $- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.2.4.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.2.4.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 (- 6 + {(0)}^{2}) \geq 0$

Schritt 2.2.4.2.3

Die linke Seite $- 30$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.2.4.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \sqrt{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.2.4.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \sqrt{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 2.2.4.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 (- 6 + {(5)}^{2}) \geq 0$

Schritt 2.2.4.3.3

Die linke Seite $95$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.2.4.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \sqrt{6}$ Wahr

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ Falsch

$x > \sqrt{6}$ Wahr

$x < - \sqrt{6}$ Wahr

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ Falsch

$x > \sqrt{6}$ Wahr

Schritt 2.2.5

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \sqrt{6}$ oder $x \geq \sqrt{6}$

Schritt 2.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \sqrt{6}, x \geq \sqrt{6}}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \sqrt{6}, x \geq \sqrt{6}}$

Schritt 3

Da der Definitionsbereich nicht alle reellen Zahlen umfasst, ist $\frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$ nicht stetig auf der Menge der reellen Zahlen.

Nicht stetig

Schritt 4