Trigonometrie Beispiele

$100 x^{2} + 64 y^{2} - 200 x - 768 y - 3996 = 0$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 64$ , $b = - 768$ und $c = 100 x^{2} - 200 x - 3996$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{768 \pm \sqrt{{(- 768)}^{2} - 4 \cdot (64 \cdot (100 x^{2} - 200 x - 3996))}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $- 768$ mit $2$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 4 \cdot 64 \cdot (100 x^{2} - 200 x - 3996)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 256 \cdot (100 x^{2} - 200 x - 3996)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 256 (100 x^{2}) - 256 (- 200 x) - 256 \cdot - 3996}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $100$ mit $- 256$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 25600 x^{2} - 256 (- 200 x) - 256 \cdot - 3996}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 200$ mit $- 256$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 25600 x^{2} + 51200 x - 256 \cdot - 3996}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.4.3

Mutltipliziere $- 256$ mit $- 3996$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 25600 x^{2} + 51200 x + 1022976}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.5

Addiere $589824$ und $1022976$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{- 25600 x^{2} + 51200 x + 1612800}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6

Schreibe $- 25600 x^{2} + 51200 x + 1612800$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.3.1.6.1

Faktorisiere $25600$ aus $- 25600 x^{2} + 51200 x + 1612800$ heraus.

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Schritt 1.3.1.6.1.1

Faktorisiere $25600$ aus $- 25600 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2}) + 51200 x + 1612800}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.1.2

Faktorisiere $25600$ aus $51200 x$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2}) + 25600 (2 x) + 1612800}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.1.3

Faktorisiere $25600$ aus $1612800$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2}) + 25600 (2 x) + 25600 (63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.1.4

Faktorisiere $25600$ aus $25600 (- x^{2}) + 25600 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + 2 x) + 25600 (63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.1.5

Faktorisiere $25600$ aus $25600 (- x^{2} + 2 x) + 25600 (63)$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.3.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 63 = - 63$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 1.3.1.6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + 2 (x) + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.2.1.2

Schreibe $2$ um als $- 7$ plus $9$

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + (- 7 + 9) x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} - 7 x + 9 x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.3.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 ((- x^{2} - 7 x) + 9 x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (x (- x - 7) - 9 (- x - 7))}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 7$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 ((- x - 7) (x - 9))}}{2 \cdot 64}$

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x - 7) (x - 9)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.7

Schreibe $25600 (- x - 7) (x - 9)$ als $160^{2} ((- x - 7) (x - 9))$ um.

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Schritt 1.3.1.7.1

Schreibe $25600$ als $160^{2}$ um.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{160^{2} (- x - 7) (x - 9)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{160^{2} ((- x - 7) (x - 9))}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{768 \pm 160 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$y = \frac{768 \pm 160 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{128}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{768 \pm 160 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{128}$ .

$y = \frac{24 \pm 5 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{4}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $- 768$ mit $2$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 4 \cdot 64 \cdot (100 x^{2} - 200 x - 3996)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 256 \cdot (100 x^{2} - 200 x - 3996)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 256 (100 x^{2}) - 256 (- 200 x) - 256 \cdot - 3996}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.4.1

Mutltipliziere $100$ mit $- 256$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 25600 x^{2} - 256 (- 200 x) - 256 \cdot - 3996}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.4.2

Mutltipliziere $- 200$ mit $- 256$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 25600 x^{2} + 51200 x - 256 \cdot - 3996}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.4.3

Mutltipliziere $- 256$ mit $- 3996$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 25600 x^{2} + 51200 x + 1022976}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.5

Addiere $589824$ und $1022976$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{- 25600 x^{2} + 51200 x + 1612800}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6

Schreibe $- 25600 x^{2} + 51200 x + 1612800$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.4.1.6.1

Faktorisiere $25600$ aus $- 25600 x^{2} + 51200 x + 1612800$ heraus.

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Schritt 1.4.1.6.1.1

Faktorisiere $25600$ aus $- 25600 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2}) + 51200 x + 1612800}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.1.2

Faktorisiere $25600$ aus $51200 x$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2}) + 25600 (2 x) + 1612800}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.1.3

Faktorisiere $25600$ aus $1612800$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2}) + 25600 (2 x) + 25600 (63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.1.4

Faktorisiere $25600$ aus $25600 (- x^{2}) + 25600 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + 2 x) + 25600 (63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.1.5

Faktorisiere $25600$ aus $25600 (- x^{2} + 2 x) + 25600 (63)$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.4.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 63 = - 63$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 1.4.1.6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + 2 (x) + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.2.1.2

Schreibe $2$ um als $- 7$ plus $9$

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + (- 7 + 9) x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} - 7 x + 9 x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.4.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 ((- x^{2} - 7 x) + 9 x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (x (- x - 7) - 9 (- x - 7))}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 7$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 ((- x - 7) (x - 9))}}{2 \cdot 64}$

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x - 7) (x - 9)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.7

Schreibe $25600 (- x - 7) (x - 9)$ als $160^{2} ((- x - 7) (x - 9))$ um.

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Schritt 1.4.1.7.1

Schreibe $25600$ als $160^{2}$ um.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{160^{2} (- x - 7) (x - 9)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{160^{2} ((- x - 7) (x - 9))}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{768 \pm 160 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$y = \frac{768 \pm 160 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{128}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{768 \pm 160 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{128}$ .

$y = \frac{24 \pm 5 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{4}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{24 + 5 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{4}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 768$ mit $2$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 4 \cdot 64 \cdot (100 x^{2} - 200 x - 3996)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 256 \cdot (100 x^{2} - 200 x - 3996)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 256 (100 x^{2}) - 256 (- 200 x) - 256 \cdot - 3996}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1.4.1

Mutltipliziere $100$ mit $- 256$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 25600 x^{2} - 256 (- 200 x) - 256 \cdot - 3996}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 200$ mit $- 256$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 25600 x^{2} + 51200 x - 256 \cdot - 3996}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 256$ mit $- 3996$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{589824 - 25600 x^{2} + 51200 x + 1022976}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.5

Addiere $589824$ und $1022976$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{- 25600 x^{2} + 51200 x + 1612800}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6

Schreibe $- 25600 x^{2} + 51200 x + 1612800$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.5.1.6.1

Faktorisiere $25600$ aus $- 25600 x^{2} + 51200 x + 1612800$ heraus.

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Schritt 1.5.1.6.1.1

Faktorisiere $25600$ aus $- 25600 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2}) + 51200 x + 1612800}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.1.2

Faktorisiere $25600$ aus $51200 x$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2}) + 25600 (2 x) + 1612800}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.1.3

Faktorisiere $25600$ aus $1612800$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2}) + 25600 (2 x) + 25600 (63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.1.4

Faktorisiere $25600$ aus $25600 (- x^{2}) + 25600 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + 2 x) + 25600 (63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.1.5

Faktorisiere $25600$ aus $25600 (- x^{2} + 2 x) + 25600 (63)$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + 2 x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.5.1.6.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 63 = - 63$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 1.5.1.6.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + 2 (x) + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.2.1.2

Schreibe $2$ um als $- 7$ plus $9$

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} + (- 7 + 9) x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x^{2} - 7 x + 9 x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.5.1.6.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 ((- x^{2} - 7 x) + 9 x + 63)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (x (- x - 7) - 9 (- x - 7))}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.6.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 7$ .

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 ((- x - 7) (x - 9))}}{2 \cdot 64}$

$y = \frac{768 \pm \sqrt{25600 (- x - 7) (x - 9)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.7

Schreibe $25600 (- x - 7) (x - 9)$ als $160^{2} ((- x - 7) (x - 9))$ um.

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Schritt 1.5.1.7.1

Schreibe $25600$ als $160^{2}$ um.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{160^{2} (- x - 7) (x - 9)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.7.2

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{768 \pm \sqrt{160^{2} ((- x - 7) (x - 9))}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{768 \pm 160 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{2 \cdot 64}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $64$ .

$y = \frac{768 \pm 160 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{128}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{768 \pm 160 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{128}$ .

$y = \frac{24 \pm 5 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{4}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{24 - 5 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{4}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{24 + 5 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{4}$

$y = \frac{24 - 5 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{4}$

$y = \frac{24 + 5 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{4}$

$y = \frac{24 - 5 \sqrt{(- x - 7) (x - 9)}}{4}$

Schritt 2

A linear equation is an equation of a straight line, which means that the degree of a linear equation must be $0$ or $1$ for each of its variables. In this case, the degree of the variable in the equation violates the linear equation definition, which means that the equation is not a linear equation.

Nicht linear