Trigonometrie Beispiele

$\log_{7} (49 x^{3} \sqrt[5]{y^{2}}) = 7 + 3 \log_{7} (x) + \frac{2}{5} \cdot \log_{7} (y)$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Vereinfache $3 \log_{7} (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{7} (49 x^{3} \sqrt[5]{y^{2}}) = 7 + \log_{7} (x^{3}) + \frac{2}{5} \cdot \log_{7} (y)$

Schritt 1.1.1.2

Vereinfache $\frac{2}{5} \log_{7} (y)$ , indem du $\frac{2}{5}$ in den Logarithmus ziehst.

$\log_{7} (49 x^{3} \sqrt[5]{y^{2}}) = 7 + \log_{7} (x^{3}) + \log_{7} (y^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{7} (49 x^{3} \sqrt[5]{y^{2}}) = 7 + \log_{7} (x^{3} y^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{y^{2}}$ als $y^{\frac{2}{5}}$ neu zu schreiben.

$\log_{7} (49 x^{3} y^{\frac{2}{5}}) = 7 + \log_{7} (x^{3} y^{\frac{2}{5}})$

Schritt 1.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{7} (49 x^{3} y^{\frac{2}{5}}) - \log_{7} (x^{3} y^{\frac{2}{5}}) = 7$

Schritt 1.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{49 x^{3} y^{\frac{2}{5}}}{x^{3} y^{\frac{2}{5}}}) = 7$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{7} (\frac{49 x^{3} y^{\frac{2}{5}}}{x^{3} y^{\frac{2}{5}}}) = 7$

Schritt 1.6

Forme den Ausdruck um.

$\log_{7} (\frac{49 y^{\frac{2}{5}}}{y^{\frac{2}{5}}}) = 7$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{7} (\frac{49 y^{\frac{2}{5}}}{y^{\frac{2}{5}}}) = 7$

Schritt 1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.8.1

Dividiere $49$ durch $1$ .

$\log_{7} (49) = 7$

Schritt 1.8.2

Die logarithmische Basis $7$ von $49$ ist $2$ .

$2 = 7$

Schritt 1.9

Da $2 \neq 7$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 2

Eine lineare Gleichung ist die Gleichung einer geraden Linie, was bedeutet, dass der Grad der linearen Gleichung $0$ oder $1$ für jede ihrer Variablen sein muss. In diesem Fall gibt es keine Variablen in der Gleichung.

Linear