Trigonometrie Beispiele

$\sin (15) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1

Vereinfache $\sin (15) + \tan (30) \cdot \cos (15)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (45 - 30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.2

Separiere die Negation.

$\sin (45 - (30)) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \tan (30) \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.2

Der genau Wert von $\tan (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos (15) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos (45 - 30) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Separiere die Negation.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \cos (45 - (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.3.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{3 \cdot 4} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3} \sqrt{2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 6} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{18} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.8.2

Schreibe $18$ als $3^{2} \cdot 2$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.8.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18$ heraus.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.8.2.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.8.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{3 \cdot 2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.1.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.2

Um $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $12$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 3}{12} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \cdot 3 - \sqrt{2} \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.5.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{6}$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{6} - \sqrt{2} \cdot 3 + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 \cdot \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.5.4

Addiere $3 \sqrt{6}$ und $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.5.5

Addiere $- 3 \sqrt{2}$ und $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{6} + 0}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.5.6

Addiere $4 \sqrt{6}$ und $0$ .

$\frac{4 \sqrt{6}}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $12$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{6}$ heraus.

$\frac{4 (\sqrt{6})}{12} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 \sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt{6}}{4 \cdot 3} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{\frac{6}{3}}$

Schritt 2

Dividiere $6$ durch $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{2}$

Schritt 3