Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = 10 x^{3} + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2$

Schritt 2

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3} + 20 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x^{3}$ heraus.

$f (x) = 10 x (x^{2}) + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2$

Schritt 2.2

Faktorisiere $10 x$ aus $20 x$ heraus.

$f (x) = 10 x (x^{2}) + 10 x (2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2$

Schritt 2.3

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x (x^{2}) + 10 x (2)$ heraus.

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 2$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 u + 2$

Schritt 5

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ und deren Summe gleich $b = 19$ ist.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $19$ aus $19 u$ heraus.

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 (u) + 2$

Schritt 5.1.2

Schreibe $19$ um als $1$ plus $18$

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + (1 + 18) u + 2$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 1 u + 18 u + 2$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2$

Schritt 5.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2$

Schritt 5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + u (9 u + 1) + 2 (9 u + 1)$

Schritt 5.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u + 1$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + (9 u + 1) (u + 2)$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f (x) = 10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $10 x (x^{2} + 2)$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 2) (10 x) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $(9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 2) (10 x + 9 x^{2} + 1)$

Schritt 8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) (10 u + 9 u^{2} + 1)$

Schritt 9

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 9.1

Stelle die Terme um.

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 u + 1)$

Schritt 9.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ und deren Summe gleich $b = 10$ ist.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $10$ aus $10 u$ heraus.

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 (u) + 1)$

Schritt 9.2.2

Schreibe $10$ um als $1$ plus $9$

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + (1 + 9) u + 1)$

Schritt 9.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + 1 u + 9 u + 1)$

Schritt 9.2.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 u^{2} + u + 9 u + 1)$

Schritt 9.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 9.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = (x^{2} + 2) ((9 u^{2} + u) + 9 u + 1)$

Schritt 9.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = (x^{2} + 2) (u (9 u + 1) + 1 (9 u + 1))$

Schritt 9.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $9 u + 1$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) ((9 u + 1) (u + 1))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$f (x) = (x^{2} + 2) ((9 x + 1) (x + 1))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1)$