Trigonometrie Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} - 4 x^{2} + 36 x - 45$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = - 4 x^{3} + 36 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Schritt 2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3} + 36 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} + 36 x + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $36 x$ heraus.

$f (x) = - 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 9 + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 9)$ heraus.

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Schritt 3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x) = - 4 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f (x) = - 4 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 4 x^{2} - 45$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} - 45$

Schritt 6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 4 u - 45$

Schritt 7

Faktorisiere $u^{2} - 4 u - 45$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 45$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 9, 5$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 5)$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 5)$

Schritt 9

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 5)$

Schritt 10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$f (x) = - 4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$

Schritt 11

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- 4 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ heraus.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $- 4 x (x + 3) (x - 3)$ heraus.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (- 4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$

Schritt 11.2

Faktorisiere $(x + 3) (x - 3)$ aus $(x + 3) (x - 3) (- 4 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 5)$ heraus.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (- 4 x + x^{2} + 5)$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$f (x) = (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 4 x + 5)$