Trigonometrie Beispiele

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 8 + 12$

Schritt 1

Addiere $- 8$ und $12$ .

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4$

Schritt 2

Faktorisiere $x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Schritt 2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 2.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 2.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

${(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$1 - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 2.3.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - 2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$1 + 2 - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 2.3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$3 - 7 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 2.3.6

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$3 - 7 \cdot 1 + 4$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$3 - 7 + 4$

Schritt 2.3.8

Subtrahiere $7$ von $3$ .

$- 4 + 4$

Schritt 2.3.9

Addiere $- 4$ und $4$ .

$0$

Schritt 2.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4}{x + 1}$

Schritt 2.5

Dividiere $x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4$ durch $x + 1$ .

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Schritt 2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} + x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

Schritt 2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

Schritt 2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

Schritt 2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$3 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

Schritt 2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

Schritt 2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

Schritt 2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} - 4 x$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 2.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Schritt 2.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

Schritt 2.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Schritt 2.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x + 4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Schritt 2.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$3 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x^{3}$

$3 x^{2}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Schritt 2.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4$

Schritt 2.6

Schreibe $x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 4$ als eine Menge von Faktoren.

$f (x) = (x + 1) (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 4)$