Trigonometrie Beispiele

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 28 x^{2} + 50 x + 75$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = - 2 x^{3} + 50 x + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Schritt 2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3} + 50 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} + 50 x + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Schritt 2.2

Faktorisiere $- 2 x$ aus $50 x$ heraus.

$f (x) = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 25 + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Schritt 2.3

Faktorisiere $- 2 x$ aus $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 25)$ heraus.

$f (x) = - 2 x (x^{2} - 25) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Schritt 3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (x) = - 2 x (x^{2} - 5^{2}) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Schritt 4

Faktorisiere.

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Schritt 4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$f (x) = - 2 x ((x + 5) (x - 5)) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Schritt 4.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + x^{4} - 28 x^{2} + 75$

Schritt 5

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + {(x^{2})}^{2} - 28 x^{2} + 75$

Schritt 6

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + u^{2} - 28 u + 75$

Schritt 7

Faktorisiere $u^{2} - 28 u + 75$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 7.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $75$ und deren Summe $- 28$ ist.

$- 25, - 3$

Schritt 7.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (u - 25) (u - 3)$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 25) (x^{2} - 3)$

Schritt 9

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x^{2} - 5^{2}) (x^{2} - 3)$

Schritt 10

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$f (x) = - 2 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$

Schritt 11

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $- 2 x (x + 5) (x - 5) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$ heraus.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $- 2 x (x + 5) (x - 5)$ heraus.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$

Schritt 11.2

Faktorisiere $(x + 5) (x - 5)$ aus $(x + 5) (x - 5) (- 2 x) + (x + 5) (x - 5) (x^{2} - 3)$ heraus.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 x + x^{2} - 3)$

Schritt 12

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (- 2 u + u^{2} - 3)$

Schritt 13

Faktorisiere $- 2 u + u^{2} - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 13.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) ((u - 3) (u + 1))$

Schritt 14

Faktorisiere.

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Schritt 14.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$f (x) = (x + 5) (x - 5) ((x - 3) (x + 1))$

Schritt 14.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (x + 5) (x - 5) (x - 3) (x + 1)$