Trigonometrie Beispiele

$f (x) = 60 x^{4} + 86 x^{3} - 46 x^{2} - 43 x + 8$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$f (x) = 86 x^{3} - 43 x + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8$

Schritt 2

Faktorisiere $43 x$ aus $86 x^{3} - 43 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $43 x$ aus $86 x^{3}$ heraus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2}) - 43 x + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8$

Schritt 2.2

Faktorisiere $43 x$ aus $- 43 x$ heraus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2}) + 43 x (- 1) + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8$

Schritt 2.3

Faktorisiere $43 x$ aus $43 x (2 x^{2}) + 43 x (- 1)$ heraus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 60 x^{4} - 46 x^{2} + 8$

Schritt 3

Faktorisiere $2$ aus $60 x^{4} - 46 x^{2} + 8$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $60 x^{4}$ heraus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4}) - 46 x^{2} + 8$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 46 x^{2}$ heraus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4}) + 2 (- 23 x^{2}) + 8$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4}) + 2 (- 23 x^{2}) + 2 (4)$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (30 x^{4}) + 2 (- 23 x^{2})$ heraus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4} - 23 x^{2}) + 2 (4)$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (30 x^{4} - 23 x^{2}) + 2 (4)$ heraus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 x^{4} - 23 x^{2} + 4)$

Schritt 4

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 {(x^{2})}^{2} - 23 x^{2} + 4)$

Schritt 5

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} - 23 u + 4)$

Schritt 6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 30 \cdot 4 = 120$ und deren Summe gleich $b = - 23$ ist.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $- 23$ aus $- 23 u$ heraus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} - 23 u + 4)$

Schritt 6.1.2

Schreibe $- 23$ um als $- 8$ plus $- 15$

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} + (- 8 - 15) u + 4)$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (30 u^{2} - 8 u - 15 u + 4)$

Schritt 6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 ((30 u^{2} - 8 u) - 15 u + 4)$

Schritt 6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (2 u (15 u - 4) - (15 u - 4))$

Schritt 6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $15 u - 4$ .

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 ((15 u - 4) (2 u - 1))$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 ((15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1))$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = 43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)$

Schritt 8

Faktorisiere $2 x^{2} - 1$ aus $43 x (2 x^{2} - 1) + 2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $2 x^{2} - 1$ aus $43 x (2 x^{2} - 1)$ heraus.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (43 x) + 2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)$

Schritt 8.2

Faktorisiere $2 x^{2} - 1$ aus $2 (15 x^{2} - 4) (2 x^{2} - 1)$ heraus.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (43 x) + (2 x^{2} - 1) (2 (15 x^{2} - 4))$

Schritt 8.3

Faktorisiere $2 x^{2} - 1$ aus $(2 x^{2} - 1) (43 x) + (2 x^{2} - 1) (2 (15 x^{2} - 4))$ heraus.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (43 x + 2 (15 x^{2} - 4))$

Schritt 9

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (43 x + 2 (15 x^{2}) + 2 \cdot - 4)$

Schritt 10

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (43 x + 30 x^{2} + 2 \cdot - 4)$

Schritt 11

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (43 x + 30 x^{2} - 8)$

Schritt 12

Stelle die Terme um.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (30 x^{2} + 43 x - 8)$

Schritt 13

Faktorisiere.

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Schritt 13.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 13.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 30 \cdot - 8 = - 240$ und deren Summe gleich $b = 43$ ist.

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Schritt 13.1.1.1

Faktorisiere $43$ aus $43 x$ heraus.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (30 x^{2} + 43 (x) - 8)$

Schritt 13.1.1.2

Schreibe $43$ um als $- 5$ plus $48$

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (30 x^{2} + (- 5 + 48) x - 8)$

Schritt 13.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (30 x^{2} - 5 x + 48 x - 8)$

Schritt 13.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 13.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) ((30 x^{2} - 5 x) + 48 x - 8)$

Schritt 13.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (5 x (6 x - 1) + 8 (6 x - 1))$

Schritt 13.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $6 x - 1$ .

$f (x) = (2 x^{2} - 1) ((6 x - 1) (5 x + 8))$

Schritt 13.2

Entferne unnötige Klammern.

$f (x) = (2 x^{2} - 1) (6 x - 1) (5 x + 8)$