Trigonometrie Beispiele

$(\cos (x) + \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1

Vereinfache $(\cos (x) + \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere $(\cos (x) + \sin (x)) (1 - \cos (x) \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) (1 - \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) (- \cos (x) \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos (x) - \cos (x) \cos (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.3

Multipliziere $- \cos (x) \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.3.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x) \sin (x)) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin (x) \cos (x) \sin (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.6

Multipliziere $- \sin (x) \cos (x) \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.6.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.6.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 1.2.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$

Schritt 2

Vereinfache $\sin^{3} (x) + \cos^{3} (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = \sin (x)$ und $b = \cos (x)$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = (\sin (x) + \cos (x)) (\sin^{2} (x) - \sin (x) \cos (x) + \cos^{2} (x))$

Schritt 2.2

Bewege $\cos^{2} (x)$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = (\sin (x) + \cos (x)) (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = (\sin (x) + \cos (x)) (1 - \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.4

Multipliziere $(\sin (x) + \cos (x)) (1 - \sin (x) \cos (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) (1 - \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) (1 - \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) (1 - \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin (x) \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.5.3

Multipliziere $- \sin (x) \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.5.3.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x) \cos (x))$

Schritt 2.5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - \cos (x) \sin (x) \cos (x)$

Schritt 2.5.6

Multipliziere $- \cos (x) \sin (x) \cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.6.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) \sin (x)$

Schritt 2.5.6.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) \sin (x)$

Schritt 2.5.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)$

Schritt 2.5.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x) + \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = \sin (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos (x) - \cos^{2} (x) \sin (x)$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 0, - 0.1, 0.1, \frac{1}{5}, - 0.3, 0.3, - \frac{2}{5}$

Schritt 4