Trigonometrie Beispiele

$\frac{3 + 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{3 + 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 + 3 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1 + 3 \sin (x)$ heraus.

$\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Schritt 1.2

Um $\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} - 12 = 0$

Schritt 1.3

Um $\frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 12 = 0$

Schritt 1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $\cos (x) (1 + \sin (x))$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $\frac{3 (1 + \sin (x))}{\cos (x)}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - 12 = 0$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{3 \cos (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{3 \cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} - 12 = 0$

Schritt 1.4.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ um.

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{3 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x)$ heraus.

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Schritt 1.6.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ heraus.

$\frac{3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))) + 3 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos (x) \cos (x)$ heraus.

$\frac{3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))) + 3 (\cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))) + 3 (\cos (x) \cos (x))$ heraus.

$\frac{3 ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.2

Multipliziere $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.6.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.3.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.3.1.4

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 1.6.1.3.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.3.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.3.2

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.4

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 1.6.1.4.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.4.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.5

Schreibe $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 1.6.1.5.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{3 (1 + 2 \sin (x) + 1)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.5.2

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 (2 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 1.6.1.5.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{3 (2 \cdot 1 + 2 \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.5.3.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \sin (x)$ heraus.

$\frac{3 (2 (1 + \sin (x)))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

$\frac{3 \cdot 2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + \sin (x)$ .

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Schritt 1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))} - 12 = 0$

Schritt 1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{\cos (x)} - 12 = 0$

Schritt 1.6.3

Separiere Brüche.

$\frac{6}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 12 = 0$

Schritt 1.6.4

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{6}{1} \sec (x) - 12 = 0$

Schritt 1.6.5

Dividiere $6$ durch $1$ .

$6 \sec (x) - 12 = 0$

Schritt 2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 3