Trigonometrie Beispiele

$\frac{7 - 7 \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{7 - 7 \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x)}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7 - 7 \tan^{4} (x)$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$\frac{7 (1) - 7 \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7 \tan^{4} (x)$ heraus.

$\frac{7 (1) + 7 (- \tan^{4} (x))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.1.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (1) + 7 (- \tan^{4} (x))$ heraus.

$\frac{7 (1 - \tan^{4} (x))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{7 (1^{2} - \tan^{4} (x))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.1.3

Schreibe $\tan^{4} (x)$ als ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ um.

$\frac{7 (1^{2} - {(\tan^{2} (x))}^{2})}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan^{2} (x)$ .

$\frac{7 ((1 + \tan^{2} (x)) (1 - \tan^{2} (x)))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{7 ((1 + \tan^{2} (x)) (1^{2} - \tan^{2} (x)))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.1.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \tan (x)$ .

$\frac{7 ((1 + \tan^{2} (x)) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x)))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

$\frac{7 (1 + \tan^{2} (x)) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.1.6

Ordne Terme um.

$\frac{7 (\tan^{2} (x) + 1) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.1.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{7 \sec^{2} (x) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sec^{2} (x)$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 \sec^{2} (x) (1 + \tan (x)) (1 - \tan (x))}{\sec^{2} (x)} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $(7 (1 + \tan (x))) (1 - \tan (x))$ durch $1$ .

$(7 (1 + \tan (x))) (1 - \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(7 \cdot 1 + 7 \tan (x)) (1 - \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$(7 + 7 \tan (x)) (1 - \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.3

Multipliziere $(7 + 7 \tan (x)) (1 - \tan (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (1 - \tan (x)) + 7 \tan (x) (1 - \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \cdot 1 + 7 (- \tan (x)) + 7 \tan (x) (1 - \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \cdot 1 + 7 (- \tan (x)) + 7 \tan (x) \cdot 1 + 7 \tan (x) (- \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $7 \cdot 1 + 7 (- \tan (x)) + 7 \tan (x) \cdot 1 + 7 \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $7 (- \tan (x))$ und $7 \tan (x) \cdot 1$ neu an.

$7 \cdot 1 - 1 \cdot 7 \tan (x) + 1 \cdot 7 \tan (x) + 7 \tan (x) (- \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.4.1.2

Addiere $- 1 \cdot 7 \tan (x)$ und $1 \cdot 7 \tan (x)$ .

$7 \cdot 1 + 0 + 7 \tan (x) (- \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.4.1.3

Addiere $7 \cdot 1$ und $0$ .

$7 \cdot 1 + 7 \tan (x) (- \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 + 7 \tan (x) (- \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.4.2.2

Multipliziere $7 \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Schritt 1.4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$7 - 7 \tan (x) \tan (x) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.4.2.2.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$7 - 7 (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.4.2.2.3

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$7 - 7 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.4.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$7 - 7 {\tan (x)}^{1 + 1} = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 1.4.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$7 - 7 \tan^{2} (x) = 7 (1 - \tan^{2} (x))$

Schritt 2

Vereinfache $7 (1 - \tan^{2} (x))$ .

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 - 7 \tan^{2} (x) = 7 \cdot 1 + 7 (- \tan^{2} (x))$

Schritt 2.2

Multipliziere.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$7 - 7 \tan^{2} (x) = 7 + 7 (- \tan^{2} (x))$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$7 - 7 \tan^{2} (x) = 7 - 7 \tan^{2} (x)$

Schritt 3

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx 0, 0.1, - 0.3, 0.3, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}, - \frac{1}{2}$

Schritt 4